Формули додавання служать для того, щоб висловити через синуси і косинуси кутів а і b, значення функцій cos (a + b), cos (a-b), sin (a + b), sin (a-b).
Формули додавання для синусів і косинусів
Теорема: Для будь-яких a і b справедливо наступне рівність cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - sin (a) * sin (b).
Доведемо цю теорему. Розглянемо наступний малюнок:
На ньому, точки Ma, M-b, M (a + b), отримані поворотом точки Мо на кути a, -b, і a + b відповідно. З визначень синуса і косинуса координати цих точок будуть слеюующімі: Ma (cos (a); sin (a)), Mb (cos (-b); sin (-b)), M (a + b) (cos (a + b); sin (a + b)). УголМоОМ (a + b) = уголМ-bОМа, отже рівні трикутники Моом (a + b) і М-bОМа, причому вони рівнобедрені. А значить, рівні і підстави МОМ (а-b) і М-bМа. Отже, (МОМ (а-b)) ^ 2 = (М-bМа) ^ 2. Скориставшись формулою відстані між двома точками, отримаємо:
(1 - cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2 = (cos (-b) - cos (a)) ^ 2 + (sin (-b) - sin (a) ) ^ 2.
sin (-a) = -sin (a) і cos (-a) = cos (a). Перетворимо наше рівність з урахуванням цих формул і квадрата суми і різниці, тоді:
1 -2 * cos (a + b) + (cos (a + b)) ^ 2 + (sin (a + b)) ^ 2 = (cos (b)) ^ 2 - 2 * cos (b) * cos (a) + (cos (a) ^ 2 + (sin (b)) ^ 2 + 2 * sin (b) * sin (a) + (sin (a)) ^ 2.
Тепер застосуємо основне тригонометричну тотожність:
2-2 * cos (a + b) = 2 - 2 * cos (a) * cos (b) + 2 * sin (a) * sin (b).
Наведемо подібні і скоротимо на -2:
cos (a + b) = cos (a) * cos (b) - sin (a) * sin (b). Що й потрібно було довести.
Справедливі також наступні формули:
Дані формули можна отримати з доведеною вище, використовуючи формули приведення та заміною b на -b. Для тангенсов і котангенсів теж існують формули додавання, але вони будуть справедливі не для будь-яких аргументів.
Формули додавання тангенсов і котангенсів
Для будь-яких кутів a, b крім a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n і a + b = pi / 2 + pi * m, для будь-яких цілих k, n, m буде справедлива наступна формула:
tg (a + b) = (tg (a) + tg (b)) / (1-tg (a) * tg (b)).
Для будь-яких кутів a, b крім a = pi / 2 + pi * k, b = pi / 2 + pi * n і a-b = pi / 2 + pi * m, для будь-яких цілих k, n, m буде справедлива наступна формула:
Для будь-яких кутів a, b крім a = pi * k, b = pi * n, a + b = pi * m і для будь-яких цілих k, n, m буде справедлива наступна формула:
ctg (a + b) = (ctg (a) * ctg (b) -1) / (ctg (b) + ctg (a)).
Для будь-яких кутів a, b крім a = pi * k, b = pi * n, a-b = pi * m і для будь-яких цілих k, n, mбудет справедлива наступна формула:
ctg (a-b) = (ctg (a) * ctg (b) +1) / (ctg (b) -ctg (a)).