Параллелепипедом називається призма, основою якої служить паралелограм.
Паралелограми, у тому числі складено паралелепіпед, називаються його гранями. їх боку - ребрами. а вершини паралелограмів - вершинами паралелепіпеда. У паралелепіпеда всі грані - паралелограми.
Паралелепіпеди можуть бути прямі і похилі.
Зазвичай виділяють якісь дві протилежні грані і називають їх підставами. а інші грані - бічними гранями паралелепіпеда. Ребра паралелепіпеда, які не належать підставах, називають бічними ребрами.
Дві грані паралелепіпеда, що мають загальне ребро, називаються суміжними. а що не мають спільних ребер - протилежними.
Відрізок, що з'єднує дві вершини, які не належать одній грані, називається діагоналлю паралелепіпеда.
Прямий паралелепіпед, у якого підставою є прямокутник, називається прямокутним параллелепипедом. У прямокутного паралелепіпеда всі грані - прямокутники.
Довжина не паралельних ребер прямокутного паралелепіпеда називаються його лінійними розмірами (вимірами). У прямокутного паралелепіпеда три лінійних розміру.
· Протилежні грані паралелепіпеда рівні і паралельні.
· Будь-хто чотири діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться цією точкою навпіл.
· Бічні грані прямого паралелепіпеда - прямокутники.
· Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів. d2 = a 2 + b 2 + c 2.
Давайте для стислості назвемо цю формулу "тривимірної теоремою Піфагора".
Площа прямокутного паралелепіпеда
Формула площі поверхні прямокутного паралелепіпеда
де S - площа прямокутного паралелепіпеда,
Формула обсягу прямокутного паралелепіпеда V = a · b · h
Площа куба
Площа поверхні куба
Формула площі куба S = 6 a2
де S - площа куба,
a - довжина межі куба.
Формула обсягу куба V = a3
Алгоритм рішення задач:
1. Креслимо прямокутний паралелепіпед. Не обов'язково в масштабі, можна від руки.
2. Підписуємо вершини. Відзначаємо на кресленні згадані в умови точки. З'єднуємо лініями, де це необхідно.
3. Ставимо відомі (задані) значення прямо на кресленні.
4. Якщо вийшов трикутник всередині тіла, то з'ясовуємо чи є в ньому прямий кут і який саме. Для цього користуємося теоремами про перпендикуляр до площини або про три перпендикуляри.
5. Креслимо цей трикутник на площині. На ньому також відзначаємо задані і шукані величини, якщо потрібно, переносячи числа з паралельних ребер.
6. Проводимо необхідні обчислення за відомими формулами. Як правило, це будуть теорема Піфагора і визначення синуса і косинуса гострих кутів прямокутного трикутника.
Рішення ключових завдань.
B9 № 245359. Знайдіть квадрат відстані між вершинами C і A 1 прямокутного паралелепіпеда, для якого AB = 5, AD = 4, AA 1 = 3.
Рішення.
Розглянемо прямокутний трикутник в якому є гіпотенузою. По теоремі Піфагора
В прямокутнику - діагональ, =. значить,
B9 № 245361. Знайдіть кут прямокутного паралелепіпеда, для якого,,. Дайте відповідь в градусах.
В прямокутнику відрізок є діагоналлю, По теоремі Піфагора
Прямокутний трикутник рівнобедрений:, значить, його гострі кути рівні
B9 № 245363. Знайдіть кут прямокутного паралелепіпеда, для якого = 4, = 3, = 5. Дайте відповідь в градусах.
Розглянемо прямокутний трикутник По теоремі Піфагора
Розглянемо прямокутний трикутник Так як = = то трикутник є рівнобедреним, значить, кути при його підставі рівні за.
9 № 271071. Знайдіть квадрат відстані між вершинами і прямокутного паралелепіпеда, для якого.
Рішення.
Розглянемо прямокутний трикутник, в якому є гіпотенузою, і знайдемо квадрат її довжини по теоремі Піфагора
В квадраті відрізок - діагональ. значить,
B9 № 271571. Знайдіть відстань між вершинами і прямокутного паралелепіпеда, для якого.
Рішення.
Розглянемо трикутник, в якому є гіпотенузою і знайдемо її довжину по теоремі Піфагора:
B9 № 272551. Знайдіть кут прямокутного паралелепіпеда, для якого,,. Відповідь дайте у градусах.
Рішення.
Розглянемо прямокутний трикутник, в ньому По теоремі Піфагора
Розглянемо прямокутний трикутник Так як, трикутник є рівнобедреним, значить, кути при його підставі рівні.
Матеріал для уроку - практикуму
B9 № 245360. Знайдіть відстань між вершинами А і D прямокутного паралелепіпеда, для якого AB = 5, AD = 4, AA = 3.
B9 № 245362. Знайдіть кут прямокутного паралелепіпеда, для якого = 5, = 4, = 4. Дайте відповідь в градусах.
27055. Площа поверхні куба дорівнює 18. Знайдіть його діагональ.
Тренувальний матеріал до уроку
270527. Знайдіть квадрат відстані між вершинами і прямокутного паралелепіпеда, для якого,,.
271075. Знайдіть відстань між вершинами і прямокутного паралелепіпеда, для якого,,.
285399.В прямокутному паралелепіпеді відомо, що,,. Знайдіть довжину ребра.
271579. Знайдіть кут прямокутного паралелепіпеда, для якого,,. Відповідь дайте у градусах.
271827. Знайдіть кут прямокутного паралелепіпеда, для якого,,. Відповідь дайте у градусах.
272321. Знайдіть кут прямокутного паралелепіпеда, для якого,,. Відповідь дайте у градусах.
245359 .Найдіте квадрат відстані між вершинами і прямокутного паралелепіпеда, для якого,,.
245360. Знайдіть відстань між вершинами і прямокутного паралелепіпеда, для якого,,.
245361. Знайдіть кут прямокутного паралелепіпеда, для якого,,. Відповідь дайте у градусах.2
245362. Знайдіть кут прямокутного паралелепіпеда, для якого,,. Відповідь дайте у градусах.
245363. Знайдіть кут прямокутного паралелепіпеда, для якого,,. Відповідь дайте у градусах.
27060. Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 1, 2. Площа поверхні паралелепіпеда дорівнює 16. Знайдіть його діагональ.
27077. Обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює 24. Одне з його ребер дорівнює 3. Знайдіть площу грані паралелепіпеда, перпендикулярної цьому ребру.
27079. Два ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 2 і 6. Обсяг паралелепіпеда дорівнює 48. Знайдіть третього ребра паралелепіпеда, що виходить з тієї ж вершини.
27080. Три ребра прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї вершини, дорівнюють 4, 6, 9. Знайдіть ребро рівновеликого йому куба.
27081. У скільки разів збільшиться обсяг куба, якщо його ребра збільшити в три рази?
27082.Діагональ куба дорівнює. Знайдіть його об'єм.