1. Момент інерції матеріальної точки,
Момент інерції м.т. () Щодо полюса - скалярна величина, що дорівнює добутку маси цієї точки на квадрат відстані до полюса:
Момент інерції системи матеріальних точок
Тіло можна уявити що складається з великого числа м.т. тоді момент інерції системи м.т. дорівнює:
де - маса i - ой м.т .; - її відстань до полюса О.
Моментом інерції системи м.т. або тіла щодо полюса називають алгебраїчну суму добутків мас м.т. з яких складається тіло, на квадрат відстані їх до полюса О.
Для встановлення зв'язку між моментом інерції тіл відносно двох паралельних осей застосовується теорема Штейнера:
де - момент інерції щодо нової осі; - момент інерції відносно центру мас; d - відстань між осями
Таблиця моментів інерції деяких твердих тіл
(Вісь проходить через геометричний центр тел)
Вектором моменту сили відносно полюса називають векторний добуток радіус-вектора і вектора сили:
Напрямок вектора моменту сили знаходиться за правилом правого гвинта (див. Рис): перенесемо вектор паралельно самому собі так, щоб збігалися початку векторів і. Якщо обертати голівку гвинта в напрямку від вектора до вектора. то поступальний рух гвинта покаже напрямок вектора моменту сили.
Модуль вектора моменту сили дорівнює:
де - кут між радіус-вектором і лінією дії сили.
Момент рівнодіюча сили щодо полюса Про дорівнює геометричній сумі векторів моментів складових сил щодо того ж полюса:
5. Момент імпульсу матеріальної точки,
Вектором моменту імпульсу м.т. щодо полюса Про називають векторний добуток радіус - вектораі вектора імпульсаотносітельно цього ж полюса.
Радіус-вектор проводиться від полюса Про до м. Т.
Напрямок вектора моменту імпульсу знаходиться за правилом правого гвинта і збігається з вектором кутової швидкості.
Якщо врахувати, що. тоді момент імпульсу дорівнює:
Момент кількості руху твердого тіла відносно осі обертання дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно тієї ж осі на кутову швидкість.
Модуль вектора моменту імпульсу дорівнює:
Вектор моменту імпульсу системи м.т. від-но полюса Про дорівнює геометричній сумі векторів моментів імпульсу, що діють на кожну точку окремо від-но того ж полюса Про:
Зв'язок вектора моменту сили і моменту імпульсу
Продифференцируем (10) за часом:
Оскільки полюс нерухомий, то перший доданок дорівнює нулю (тому що перша похідна переміщення по часу дорівнює швидкості). Тоді колінеарні, а твір колінеарних векторів дорівнює нулю.
Згідно II закону Ньютона. (16)
значить (15) буде мати вигляд:
Вираз (17) встановлює зв'язок між і.
зв'язок між і
- похідна вектора моменту імпульсу за часом щодо нерухомого полюса дорівнює вектору моменту сили, що діє на цю м.т. щодо того ж полюса