Знакозмінні та знакозмінні ряди
1. Ознака Даламбера
2. Ознака Коші
3. Інтегральний ознака збіжності ряду
4. Знакозмінні ряди. ознака Лейбніца
5. Знакозмінні ряди. Абсолютно і умовно збіжні ряди
Список використаних джерел
1. Ознака Даламбера
Теорема 1 (ознака Даламбера). Нехай дано ряд. де все> 0. Якщо існує межа
то при 0 1 ряд сходиться.
◄Пусть існує межа
де 0 0, наприклад, для
,знайдеться номер N такий, що для всіх n ≥ N буде виконуватися нерівність
1, починаючи з деякого номера N, буде виконуватися нерівність
Отже, 0, і ряд розходиться, так як не виконано необхідна ознака збіжності. ►
Зауваження. якщо
Або не існує, то ознака Даламбера відповіді про збіжність або розбіжність ряду не дає.
Приклади. Дослідити на збіжність наступні ряди:
1.
◄ Для даного ряду маємо
За ознакою Даламбера ряд сходиться. ►
2.
◄ Маємо
Даний ряд розходиться. ►
Теорема 2 (ознака Коші). Нехай дано ряд
Якщо існує кінцевий межа
то 1) при ряд сходиться; 2) при ряд розходиться.
◄ 1) Нехай. Візьмемо число q таке, що. Так як існує межа
де. то, починаючи з деякого номера N. буде виконуватися нерівність.
Справді, з певного рівності випливає, що для будь-якого ε, в тому числі і для
ε =. знайдеться такий номер N. починаючи з якого буде виконуватися нерівність
звідки або що теж,
.
Звідси отримуємо
для.
Таким чином, всі члени ряду, починаючи з. менше відповідних членів сходиться ряду. За ознакою порівняння ряд
сходиться, а значить сходиться і ряд (1).
2) Нехай. Тоді, починаючи з деякого номера N для всіх n> N. буде виконуватися нерівність. або
І ряд (1) розходиться. ►
Зауваження. Якщо. то ряд (1) може як сходитися, так і розходитися.
Приклади. Дослідити на збіжність наступні ряди:
3. Інтегральний ознака збіжності ряду
Теорема 3 (інтегральний ознака збіжності). Нехай функція f (x) визначена, безупинна, позитивна і не зростає на промені. тоді:
1) числовий ряд сходиться, якщо сходиться невласний інтеграл
2) ряд розходиться, якщо розходиться невласний інтеграл (1)
◄ Візьмемо на графіку функції f (x) точки з абсциссами
x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, .... xn = n
і побудуємо дві ступінчасті фігури, що складаються з виступаючих і входять прямокутників так, як показано рис. 1. Площа Q криволінійної трапеції, обмеженою прямими x = 1, x = n, y = 0 і кривої y = f (x) дорівнює
Візьмемо n-ю часткову суму ряду:
S n = f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n),
Тоді площа Q + виступаючої фігури дорівнюватиме
Q + = f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n-1) = S n-1
А площа Q- входить фігури дорівнює
Q- = + f (2) + f (3) + ... + f (n) = S n - f (1).
З побудови і властивостей функції f (x) випливає, що
Q- 0 для. то з нерівності (2) випливає, що
S n 0 для n = 1, 2, .... Тому вона має межу
Що означає збіжність ряду.
2) Нехай інтеграл (1) розходиться. Так як за умовою
f (x)> 0 для. то
S n ≥. n = 1, 2, ...,
тобто ряд розходиться. ►
Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд
◄ Тут. Відомо, що невласний інтеграл
сходиться при p> 1 і розходиться при p ≤ 1. Отже, даний ряд сходиться при p> 1 і розходиться
при p ≤ 1. Зокрема, при p = 1 отримаємо гармонійний ряд
Приклад 2. Дослідити на збіжність ряд
◄ В даному випадку функція і
= (Arctg b-arctg 1) =,
тобто інтеграл
сходиться, а значить, сходиться і ряд. ►
Приклад 3. Дослідити на збіжність ряд
◄ Так як загальний член даного ряду має вигляд. то вибираємо функцію.
невласний інтеграл
розходиться, отже, ряд теж розходиться. ►
Зауваження. Нижня межа інтегрування в несобственном інтегралі
можна взяти довільним, наприклад, рівним а, де а ≥ 1 - будь-яке число.
Приклад 4. Дослідити збіжність ряду
◄ Так як загальний член ряду
то в якості опції візьмемо
Так як невласний інтеграл
сходиться, то сходиться і вихідний ряд. ►
У разі збіжності ряду метод, застосований при доказі інтегрального ознаки збіжності, дозволяє отримати оцінку похибки, що виникає при заміні суми ряду часткової сумою.
Нехай функція f (x) задовольняє умовам теореми 9, ряд
сходиться і його сума дорівнює S. Можна показати, що в цьому випадку буде сходитися і невласний інтеграл
оцінимо залишок Rn заданого ряду, Маємо
Таким чином, похибка, що отримується при заміні суми S сходиться ряду
його n-й часткової сумою Sn. не перевищує інтеграла.
Приклад 5. Встановити відповідність низки
і оцінити похибку при заміні його суми S5.
◄ Тут
В силу інтегрального ознаки ряд сходиться. Позначимо суму цього ряду через S і будемо вважати, що
S ≈ S5. тоді
S ≈ S5 ==
Оцінимо похибка R5. маємо
Приклад 6. Оцінити n-й залишок сходиться ряду
4 Знакозмінні ряди. ознака Лейбніца
Визначення. числовий ряд
a1 - a2 + a3 - ... + (- 1) n - 1an + ...,
де всі числа an позитивні, називається Знакозмінні.
Приклад. ряд
є Знакозмінні, а ряд
Знакозмінні не є.
Для Знакозмінні рядів має місце наступний ознака збіжності, який носить назву ознаки Лейбніца.
Теорема 4 (ознака Лейбніца). Нехай в Знакозмінні ряді
a1 - a2 + a3 - ...
числова послідовність
a1> a2> a3> ... Тоді цей ряд сходиться, причому його сума S позитивна і не перевищує першого члена:
◄ Візьмемо парну часткову суму S2n цього ряду і запишемо її у вигляді
S2n = (a1 - a2) + (a3 - a4) + ... + (a2n-1 - a2n).
З умови теореми випливає, що різниці в дужках позитивні і, отже, S2n> 0,
причому зі зростанням n часткова сума S2n зростає. Цю суму можна записати
і так:
S2n = a1 - (a2 - a3) - (a4 - a5) - ... - (a2n-2 - a2n-1) - a2n.
Тут кожна дужка позитивна, звідки випливає, що
скачати титульний лист для роботи