Тут все прямо випливає з визначень.
Те, що 0 є нижньою межею, випливає з того, що всі числа безлічі невід'ємні, і навіть позитивні: $% 1 \ frac = \ frac1> 0 $%, і тим більше $% 1 + \ frac> 0 $% при $% n \ in $%. Той факт, що ця нижня межа є точною, випливає з того, що це найбільша з усіх нижній граней множини. Доводиться від противного: припустимо, що деяке число $% \ varepsilon> 0 $% є нижньою межею. Виберемо натуральне $% n> 1 / \ varepsilon $%; існування такого числа випливає з аксіоми Архімеда. Тоді $% \ frac1 <\frac1n <\varepsilon$%, и возникает противоречие с тем, что выбранное число есть нижняя грань, так как нашёлся элемент множества, который меньше неё.
Для верхньої межі: зрозуміло, що $% 1 + \ frac <2$% (для чисел с минусом -- тем более). Значит, $%2$% является верхней гранью. Остаётся показать, что она наименьшая среди верхних граней. Снова от противного: рассматриваем произвольное число, меньшее $%2$%, которое удобно представить в виде $%2-\varepsilon$%. Выбирая натуральное $%n$% как и выше, видим, что $%1+\frac=2-\frac1> 2 \ frac1n> 2 \ varepsilon $%. Це суперечить зробленому припущенню.
Відповідаючи 1 Лис '14 1:26
а ми могли б вибрати n> (1 / e) - 1, тоді (1 / (n + 1)) @ Leva319. тут є "запас" у вигляді одиниці, тому таке число б теж підійшло. Але тут немає мети вказати якесь "оптимальне" число (так ми його і не знаємо), тому вибирається те, яке свідомо підходить і найпростіше виписується.Схожі статті