Знайдемо власні вектора заданого лінійного оператора.
Число є власне число оператора в тому і тільки тому випадку, коли. Запишемо характеристичне рівняння:
Вирішуючи його, маємо
Таким чином, отримуємо власні числа оператора:
Для кожного з отриманих власних значень знайдемо власні вектори.
Їх можна знайти їх системи.
Вирішимо однорідну систему рівнянь.
Матриця коефіцієнтів має ранг 2. Виберемо в якості базисного мінору Тоді, вважаючи, маємо
Таким чином, загальне рішення системи
.
Із загальної рішення знаходимо фундаментальну систему рішень:
.
З використанням фундаментальної системи рішень, загальне рішення може бути записано у вигляді.
Вирішимо однорідну систему рівнянь
.
Матриця коефіцієнтів має ранг 2. Виберемо в якості базисного мінору Тоді, вважаючи, маємо
Таким чином, загальне рішення системи.
Із загальної рішення знаходимо фундаментальну систему рішень:
.
З використанням фундаментальної системи рішень, загальне рішення може бути записано у вигляді
.
Вирішимо однорідну систему рівнянь.
Матриця коефіцієнтів має ранг 4, оскільки
Так як ранг дорівнює кількості невідомих, то система має тільки тривіальне рішення.
Вирішимо однорідну систему рівнянь.
Матриця коефіцієнтів має ранг 4, оскільки
Так як ранг дорівнює кількості невідомих, то система має тільки тривіальне рішення.
Таким чином, маємо власні вектора і.
Виберемо як ортогонального базису вектора,,,.
Нормуємо знайдений ортогональний базис:
