Для однаковості вважатимемо, що
і говорити, що це сума, яка містить один доданок.
Зауваження 14. 1 Буква, що стоїть внизу під знаком суми (індекс підсумовування), не впливає на результат підсумовування. Важливо лише, як від цього індексу залежить сумовною величина. наприклад,
в правій частині ніякої літери немає, значить, і результат від не залежить.
Пропозиція 14. 1Множітель, що не залежить від індексу підсумовування, може бути винесено за знак суми:
Доказ цієї пропозиції надається читачеві.
Пропозиція 14. 2
Розкриємо дужки в правій частині цієї рівності. Отримаємо суму елементів при всіх допустимих значеннях індексів підсумовування. Складові згрупуємо по-іншому, а саме, спочатку зберемо всі складові, у яких перший індекс дорівнює 1, потім, у яких перший індекс дорівнює 2 і т.д. отримаємо
Замінивши в цій рівності в лівій частині його виразом через знаки підсумовування, отримаємо формулу (14.4).
Зауваження 14. 2 Подвійні суми з рівності (14.4) можна записувати і без використання дужок
Потрібно пам'ятати, що подвійна сума означає суму елементів для всіх допустимих значень індексів підсумовування. З цієї ж причини, якщо зустрічається запис, що містить підряд три або більше символів підсумовування, то порядок розміщення цих символів можна змінювати довільно.
Якщо межі зміни всіх індексів підсумовування однакові, то можна для підсумовування по декільком індексам використовувати запис вигляду
Іноді під символом суми вказують додаткові умови, що накладаються на індекси підсумовування. так запис
означає, що в суму не включаються величини. тобто з рівними індексами.
Іноді в запису суми не вказуються межі зміни індексів, наприклад,
Такий запис використовується, коли значення, які можуть приймати індекси, очевидні з попереднього тексту або будуть обговорені відразу після закінчення формули.