частина II
Вікова І ПЕДАГОГІЧНА ПСИХОЛОГІЯ
ПСИХІЧНЕ РОЗВИТОК І ЗАКОНОМІРНОСТІ СТАНОВЛЕННЯ ОСОБИСТОСТІ
Жан Піаже Як діти утворюють математичні поняття
Це велика помилка - думати, що дитина набуває поняття числа та інші математичні поняття безпосередньо в навчанні. Навпаки, в значній мірі він розвиває їх самостійно, незалежно і спонтанно. Коли дорослі намагаються нав'язати дитині математичні поняття передчасно, він вивчає їх тільки словесно; Нині Розуміння приходить тільки з його розумовою зростанням.
Це можна показати на простому досвіді. Дитину 5 або 6 років батьки легко можуть навчити називати числа від 1 до 10. Якщо викласти 10 камінчиків в ряд, дитина може правильно їх порахувати. Але якщо викласти камінчики у вигляді більш складної фігури або нагромадити їх купою, він вже не може вважати їх з постійною точністю. Хоча дитина знає назви чисел, він ще не вловив суттєвої ідеї числа, а саме, що число об'єктів в групі залишається тим же, «зберігається» незалежно від того, як їх розтасувати або розташувати.
З іншого боку, ми часто виявляємо, що дитина 6 або 7 років спонтанно утворив поняття числа, хоча до цього його не вчили рахувати. Якщо йому дати 8 червоних і 8 синіх шматочків картону, він встановить, розташовуючи їх попарно «1» до «1», що число червоних таке ж, як і число синіх, і що обидві групи залишаються рівними за кількістю незалежно від форми, яка їм надається.
Досвід з співвіднесенням «1» до «1» корисний і для вивчення того, як у дітей розвивається поняття числа. Викладемо ряд з 8 червоних шматочків на відстані близько сантиметра один від одного і попросимо наших маленьких випробовуваних взяти з ящика стільки ж синіх шматочків. Реакції дітей будуть залежати від віку, і ми можемо намітити три стадії розвитку. Дитина у віці 5 років і молодше буде викладати сині шматочки так, щоб зробити ряд точно такої ж довжини, як і червоний ряд, при цьому червоні шматочки він кладе впритул один до одного, а не на відстані. Він думає, що число залишається тим же, якщо довжина ряду така ж. У віці близько 6 років діти переходять на другу стадію; вони кладуть один синій шматочок проти кожного червоного і отримують правильне число. Але це зовсім не завжди означає, що діти придбали поняття про самому числі. Якщо ми розсунемо червоні шматочки, зробивши відстань між ними більш значним, то шестирічна дитина буде думати, що тепер в більш довгому ряду більше шматочків, хоча ми і не змінили їх число. У віці від 6 до 7 досягають третьої стадії: тепер вони знають, що, чи будемо ми зрушувати або розсовувати ряд, число шматочків в ньому залишається тим же, що і в іншому ряду.
В іншому подібному досвіді дитині дають 2 судини однакової форми і розміру і просять виймати одночасно обома руками і класти в інші 2 судини намистинки: синю намистину - в одну посудину правою рукою, а червону намистинку - в іншу посудину лівою рукою. Коли дитина більш-менш наповнить судини, його запитують, як їх порівняти. Дитина впевнений, що в обох судинах однакове число намистин. Тоді його просять висипати сині намиста в посудину іншої форми і розміру. І тепер знову відповідно до віку виступають відмінності в розумінні. Молодші діти думають, що число змінилося: якщо, наприклад, намиста наповнюють посудину до більш високого рівня, дитина стверджує, що тепер в ньому більше бус, ніж було в попередньому; якщо намиста наповнюють посудину до нижчого рівня, дитина думає, що тепер їх менше. Але діти близько 7 років вже розуміють, що переміщення не змінює число бус.
Коротше кажучи, діти повинні вловити принцип збереження кількості, перш ніж вони можуть утворити поняття числа. Але, звичайно, збереження кількості саме по собі не є числовим поняттям; це скоріше логічне поняття. Так ці досліди з області дитячої психології кидають певне світло на епістемологію поняття числа, яке було предметом дослідження багатьох математиків і логіків.
Дослідження того, що дитина відкриває просторові відносини, що можна назвати спонтанною геометрією дитину, не менш плідно, ніж вивчення його числових понять. Порядок розвитку ідей дитини в області геометрії здається зворотним порядку їх історичного відкриття. Наукова геометрія починається з системи Евкліда (що трактує фігури, кути і т.д.), розвивається в XVII столітті в так звану проектну геометрію (має справу з проблемами перспективи), і, нарешті, в XIX столітті приходить до топології (яка описує просторові відносини в Загалом якісному вигляді, наприклад відмінність між відкритими і замкнутими структурами, зовнішнім і внутрішнім, близькістю і поділом). Дитина починає з останнього: його перші геометричні відкриття є топологічними. У віці 3 років він легко розрізняє відкриті та замкнені фігури: якщо ви попросите його змалювати квадрат або трикутник, він намалює замкнуте коло; він малює хрест двома окремими лініями. Якщо ви показуєте йому малюнок великого кола з маленьким колом усередині, він може відтворити це відношення, але може також намалювати маленький коло поза великим або стикаються з ним краєм. І все це він може зробити перш, ніж зможе намалювати прямокутник або висловити евклідовой характеристики фігури (число сторін, кути і т.д.). Лише значно пізніше того, як дитина опанує топологічними відносинами, він починає розвивати свої поняття евклідовой і проективної геометрії. І тоді він будує їх одночасно.
Перевіримо наших юних випробовуваних щодо проектних структур. Спочатку ми ставимо 2 крайніх стовпчика «гратчастої огорожі» (маленькі палички, вставлені в підстави з пластиліну) на відстані приблизно 15 дюймів один від одного і просимо дитину поставити інші стовпчики по прямій лінії між ними. Наймолодші діти (молодше 4 років) ставлять один стовпчик поруч з іншим, утворюючи більш-менш хвилясту лінію. Їх підхід є топологічним: елементи пов'язані скоріше простим відношенням близькості, ніж проекцією лінії як такої. На наступній стадії, старше 4 років, дитина вже може скласти пряму лінію, якщо крайні стовпчики розташовані паралельно краю столу або якщо є якась інша пряма лінія, якої дитина може керуватися. Якщо крайні стовпчики розташовані по діагоналі столу, дитина може почати будувати лінію паралельно краю столу, а потім змінює напрямок і утворює криву, щоб підвести лінію до останнього стовпчика. Випадково малюк може зробити і пряму лінію, але вона буде лише однією серед інших інших, одержуваних за допомогою проб і помилок, а не по системі.
У віці 7 років дитина може побудувати пряму огорожу завжди і в будь-якому напрямку столу, і цю пряму лінію він перевіряє так: він закриває одне око і переглядає напрямок іншим оком, як це робить садівник, рівняючи жердини для бобів. Перед нами сутність проектованого поняття; лінія все ще є топологічної лінією, але дитина вловлює, що проектне відношення залежить від кута зору або «точки зору».
Це дослідження можна продовжити за допомогою іншого досвіду. Наприклад, ви ставите на стіл ляльку і ставите перед нею предмет, орієнтований в певному напрямку: олівець, що лежить навскіс, по діагоналі або уздовж лінії погляду ляльки, або годинник, поставлені або покладені на столі. Потім ви просите дитини намалювати, як лялька бачить предмет, або, ще краще, вибрати з 2 або 3 малюнків один, який це зображує. Не раніше ніж близько 7 або 8 років дитина може правильно вивести кут зору ляльки.
Подібний досвід, поставлений для перевірки того ж питання, веде до такого ж висновку. Предмети різної форми поміщаються в різних положеннях між джерелом світла і екраном, і дитину просять передбачити, якою буде форма тіні від предмета на екрані.
Здатність координувати різні перспективи проявляється не раніше 9 або 10 років. Це ілюструє досвід, який кілька років тому я підказав своєї співробітниці д-ру Едіт Мейер. Експериментатор сидить за столом проти дитини і ставить між ним і собою гряду гір, зроблену з картону. Обидва бачать цю гряду у взаємно зворотній перспективі. Дитину просять вибрати з декількох малюнків один, відповідний його своїм образом гряди, і один - її виду з позиції особи, що сидить проти нього. Природно, наймолодші діти можуть вибрати тільки один малюнок, відповідний їх точці зору; вони думають, що всі точки зору подібні їх власної. Ще більш цікаво, що якщо дитина міняється місцями з експериментатором і тепер бачить гори з іншого боку, він вважає, що його нова точка зору є єдино правильною; він не може відтворити вигляд з точки зору, яка була його власною безпосередньо перед цим. Це хороший приклад егоцентричності, такої характерної для дітей, приклад примітивного міркування, що заважає їм зрозуміти, що може бути і більш ніж одна точка зору.
Діти повинні виконати значну еволюцію, щоб десь близько 9 або 10 років почати розрізняти і координувати різні можливі перспективи. На цій стадії діти можуть зрозуміти проективне простір в його конкретної або практичній формі, але, природно, не в його теоретичних аспектах.
Принцип збереження утворюється в різних формах. Першою є збереження довжини. Якщо ви покладете один блок на інший такої ж довжини, а потім висунете один блок так, щоб його кінець виходив за межі іншого, то дитина 6 років буде стверджувати, що обидва блоки вже не рівні по довжині. Не раніше ніж близько 7 років дитина починає розуміти, що те, що блок виграє на одному кінці, він втрачає на іншому. Потрібно відзначити - дитина приходить до цього поняття про збереження довжини шляхом логічного висновку.
Експериментальне вивчення того, як дитина відкриває збереження відстані, особливо показово. Між двома маленькими іграшковими деревами, що стоять на відстані один від одного, ви ставите стіну з блоків або шматка товстого карти і питаєте дитину (звичайно, на його мові), знаходяться тепер дерева на тій же відстані один від одного. Найменші діти думають, що відстань змінилося; вони просто не можуть скласти 2 частини відстані в одне загальне відстань. Діти 5 або б років думають, що відстань зменшилася, вказуючи на те, що ширина стіни не вважається відстанню; іншими словами, заповнений простір не має для них такого ж значення, як порожній простір. Тільки у віці близько 7 років діти приходять до розуміння того, що проміжні предмети не змінюють відстані.
Як би ви не перевіряли, ви завжди виявляєте наступне; діти не доходять до принципу збереження довжини або поверхні, поки - десь близько 7 років - не відчиняють оборотності, яка показує, що початкове кількість залишається тим же (наприклад, вирівнювання блоків однакової довжини, усунення стіни і т.д.). Таким чином, відкриття логічних відносин є попередньою умовою освіти геометричних понять, як це має місце при утворенні поняття про число.
Це відноситься і до самого виміру, яке також є похідним поняттям. Цікаво простежити, як діти спонтанно навчаються вимірювати. Д-р Инельдер, одна з моїх співробітниць, і я провели наступний експеримент: ми показували дитині вежу з блоків, що стоїть на столі, і просили його побудувати іншу вежу такої ж висоти на іншому столі (який був нижче або вище першого) з блоків різного розміру. Звичайно, ми постачали дитини всіма необхідними вимірювальними інструментами. Спроби дитини вирішити цю задачу проходять разючу еволюцію. Наймолодші діти будують другу вежу до того ж візуального рівня, що і перша, не піклуючись про відмінність в висоті столів. Вони порівнюють вежі, відступаючи назад і переглядаючи їх верхівки єдиним поглядом. На більш високому етапі розвитку дитина кладе на верхівки веж довгий стрижень, щоб упевнитися в тому, що вони на одному рівні. Трохи пізніше він зауважує, що підстава його вежі знаходиться не на тому рівні, що підстава моделі. Тоді, щоб зрівняти їх, він хоче помістити свою вежу поруч зі зразком, на тому ж столі. Згадавши, що правила гри забороняють пересувати його вежу, він починає оглядатися в пошуках засобів вимірювання. Цікаво, що перше, що спадає йому на думку, - це його власне тіло. Він кладе одну руку на вершину своєї вежі, іншу - на її підставу і потім, намагаючись зберегти незмінне відстань між руками, направляється до іншої вежі, щоб порівняти це відстань з нею. Діти близько 6 років роблять це досить упевнено - так, як якщо б їх руки не могли змінити положення по шляху! Незабаром вони виявляють, що метод не надійний, і тоді вдаються до проекції точок вежі на своє тіло. Дитина співвідносить свої плечі з вершиною своєї вежі, проти її заснування відзначає рукою точку на своєму стегні і прямує до моделі подивитися, чи є відстань тим же.
Зрештою дитині приходить думка про незалежну вимірювальний інструмент. Його перша спроба в цьому напрямку полягає в тому, щоб побудувати поруч третю вежу такої ж висоти, як і та, що він вже спорудив. Побудувавши цю третю вежу, він підсовує її до першого столу і ставить поруч з моделлю; це допускається правилами. Досягнення дитиною цієї стадії передбачає процес логічного міркування. Якщо ми назвемо вежу зразок Л, другу вежу С, а переміщувану вежу В, то дитина міркує так: В = С і В = А, тому А - С.
Пізніше дитина заміщає третю вежу стрижнем, але спочатку стрижень повинен бути точно такої ж довжини, як висота вежі, яка підлягає вимірюванню. Потім він осягає ідею використовувати більш довгий стрижень, на якому зазначає пальцем високої башти. Нарешті, - і це початок справжнього виміру - він розуміє, що може використовувати більш короткий стрижень і виміряти висоту вежі, відкладаючи стрижень по її боці відоме число раз.
Щоб вивчити вимір в двох напрямках, ми даємо дитині великий аркуш паперу з олівцевої точкою на ньому і просимо поставити крапку в тому ж місці на іншому аркуші такого ж розміру. Дитина може скористатися паличками, смужками паперу, мотузочками, лінійками або будь-яким іншим вимірювальним інструментом, в якому він потребує. Наймолодші випробовувані задовольняються візуальним наближенням, не користуючись ніякими гарматами. Пізніше дитина користується вимірювальним інструментом, але вимірює тільки відстань точки від підстави або бокового краю аркуша і дуже дивується, що це одиничний вимір не дає йому правильного положення точки. Тоді він вимірює відстань точки від кута листа, намагаючись зберегти той же нахил (кут) лінійки на своєму листі. Нарешті, у віці близько 8 або 9 років він відкриває, що повинен розділити вимір на 2 операції; горизонтальне відстань від бічної сторони і вертикальне відстань від підстави або верхнього краю. Подібний досвід з намистом в ящику показує, що дитина відкриває тривимірні вимірювання приблизно в тому ж віці.
Вимірювання в двох або трьох напрямках призводить нас до центральної ідеї евклідова простору, а саме до ідеї осей координат - системи, заснованої на горизонтальності або вертикальності фізичних об'єктів. Може здатися, що навіть маленька дитина мав би зрозуміти ці уявлення, бо в кінці кінців він може розрізнити між положеннями «прямо вгору» і «лежаче внизу». Але в дійсності уявлення про вертикальних і горизонтальних лініях піднімає зовсім інше питання про це суб'єктивній свідомості постурального простору. Д-р Инельдер і я вивчали його за допомогою наступних дослідів: показуючи посудину, наполовину наповнений пофарбованої водою, ми просили маленьких випробовуваних сказати, яким буде рівень води, якщо нахилити посудину так чи інакше. Не раніше 9 років дитина осягає ідею горизонтальності і починає відповідати правильно. Подібні досліди з схилом або з іграшкової парусної човном з високою щоглою демонструють, що Розуміння вертикальності, з'являється приблизно в той же час. Таке запізнювання в придбанні дитиною цих понять насправді не дивно, так як ці поняття вимагають, щоб дитина вловив не тільки внутрішні відносини об'єкта, але також його відношення до зовнішніх елементів (наприклад, до столу, підлозі або стінах кімнати).
Коли дитина усвідомлює, як будувати ці осі координат по відношенню до природних об'єктів (що настає приблизно в той же час, коли він опановує координацією різних перспектив), він також досягає розуміння того, як треба зображати простір. Але до цього часу він розвиває і свої основні математичні поняття, які виникають спонтанно з його власних логічних операцій.
Описані мною досліди, як вони ні прості, були напрочуд плідні і виявили багато несподіваних фактів. Ці факти кидають яскраве світло на багато питань психології та педагогіки; більш того, вони вчать нас багато чому про людське пізнання взагалі.
Питання психології, 1966, № 4, с.121-126