Привіт, дорогі читачі! Сьогодні мені попалася гарна завдання з параметром, і хотілося б поділитися з вами рішенням.
Завдання така: знайти позитивне значення параметра a, таке, щоб система мала єдине рішення.
Відразу можна помітити, що обидва рівняння - це рівняння кіл. У першій радіус дорівнює трьом, у другій - a. Цікаво, що в рівнянні першої окружності присутній модуль х. Тобто на самій-то справі це не одна, а дві окружності, симетрично розташовані відносно осі у і мають центри в точках (5, 4) і (-5, 4) і радіус три. В цьому і є маленька хитрість цього завдання, оскільки, якщо чесно, завдання-то зовсім проста. Залишилося здогадатися, що друга окружність радіуса a з центром в точці (-2, 0) може мати одну точку дотику з обома цими колами, тільки ця точка повинна бути єдиною за умовою задачі. Подивимося на малюнок:
Бачимо, що рішень два: або червона окружність стосується лівої синьої "всередині", або червона окружність має такий радіус, щоб торкатися правої синьої "зовні". Будь-яка інша точка дотику НЕ буде єдиною: в інших випадках червона окружність обов'язково зачепить або перетне обидві сині кола, а це не відповідає умові завдання.
Знайдемо радіуси червоних кіл, в цьому нам допоможе теорема Піфагора (зелені трикутники). Тоді відстань між центрами малої червоної окружності і синьою (лівої):
Щоб знайти шуканий радіус, треба відняти від цього відстані 3:
Розглянемо тепер другий трикутник і знайдемо відстань між центрами більшою червоною окружності і синьою (правої):
Не забудемо, що до цієї відстані треба додати радіус синьою окружності:
