Підказка 1
Рішення і відповідь залежать від того, як розуміти умову.
Варіант розуміння 1. Кожен раз плоску фігуру просто складають вздовж якоїсь прямої, як на рис. 1. Доведіть, що при таких операціях периметр не може збільшитися.
Мал. 1. Проста складка: кожен раз наявну фігуру складають вздовж прямої
Варіант розуміння 2. Можна складати як завгодно, лише б в результаті вийшла плоска фігура - як на рис. 2. До речі, зрозумійте, чому фігуру на рис. 2 можна скласти послідовними прямими складками, якими можна користуватися в першому варіанті. При такому розумінні завдання скласти лист у фігуру з бо льшим периметром можна, хоча це і здається неймовірним (тут у любителів орігамі є перевага).
Мал. 2. Складна складка
Підказка 2
Ця підказка відноситься до другого варіанту розуміння умови. Я привожу тут натяк, як скласти лист у фігуру з периметром більше, ніж у вихідного аркуша паперу.
Почнемо з квадратного аркушу паперу. Зберемо то, що орігамісти називають базовою формою «Птах» (рис. 3). Це основа для класичної японської моделі орігамі - паперового журавлика. Журавлика ми робити, однак, не будемо - для бажаючих цьому навчитися є достатньо інформації в інтернеті. Дії, необхідні для складання моделі з рис. 3, описані в окремому файлі.
Мал. 3. Базова форма «Птах»
Зверніть увагу на важливі властивості вийшла «штучки»: у неї є «спина» і чотири досить довгих «відростка» (з цих відростків вийшли б два крила, голова та хвіст журавлика, якби ми продовжили займатися орігамі, замість того щоб вирішувати завдання) . Якщо розчепірити ці відростки на всі боки, то хочеться отримати модель з бо льшим периметром. Однак тут є проблема: відростки при спробі відігнути їх в різні боки занадто сильно один одного перекривають, і в підсумку периметр фігури виходить істотно менше, ніж хотілося б.
Спочатку розберемося з тієї формулюванням, в якій можна складати як завгодно.
У цьому файлі показано, як потрібно видозмінити відростки журавлика (з Підказки 2), щоб вони не втратили в довжині, але стали більш вузькими. Ця процедура не дуже проста і відразу може не вийти, якщо у вас раніше не було досвіду складання паперу. Однак спробуйте.
Мал. 4. «Худа» фігурка, периметр якої після розплющування буде більше периметра вихідного квадрата
Нехай а - сторона вихідного квадрата (рис. 4). Зберемо фігуру з дуже тонкими відростками, тоді після відгинання вони не сильно втрачають в довжині за рахунок накладення. Кожен з відростків вносить в підсумковий периметр внесок приблизно a / 2 кожної зі своїх двох сторін (див. Рис. 4). Причому це число тим ближче до a / 2, чим тонше відростки. У межі ми отримаємо рівно a від кожного відростка. Але ще в периметр вносить вклад то, що було «спинкою» журавлика. Таким чином, периметр отриманої фігури можна зробити як завгодно близьким до деякого числа, яке точно більше, ніж 4а. Те що треба!
Хоча це і не важливо для вирішення, можна порахувати вклад «спинки». З кожного боку «спинка» вносить вклад R. Цю величину порахуємо, дивлячись на розгортку моделі. На малюнку показані області паперу, з яких виходять відростки і спинка. На спинку йде центральний гурток; він має радіус. Це і є довжина однієї із сторін спинки в підсумковій моделі.
Тепер доведемо для повноти картини, що, користуючись лише простими складками, не можна збільшити периметр. Тобто розберемо перший варіант розуміння формулювання завдання. Покажемо, що просте складання паперового багатокутника уздовж довільної прямої не може збільшити периметр паперової фігури. Деяка технічна «дрібниця» буде пропущена, щоб перевірити пильність читача.
Мал. 5. Після простого складання периметр не може збільшитися
Подивимося на малюнок 5. До складання периметр - це сума двох величин: довжини помаранчевої ламаної A і довжини коричневої ламаної B. Після складання ми отримуємо два частково накладаються багатокутника X і Y. Складка має довжину C. Подивимося на ту частину кордонів багатокутників X і Y , яка не лежить на складці (на рис. 5 - ліва нижня картинка). Сумарна довжина цих кордонів дорівнює A + B. Нехай D - довжина тієї частини кордону об'єднання X ∪ Y, яка не проходить по складці, а E - довжина тієї частини кордону перетину X ∩ Y, яка не проходить по складці. Тоді D + E = A + B.
Покажемо, що E> C. Дійсно, перетин X ∩ Y - це багатокутник, тому його межа - це замкнута ламана, або набір замкнутих ламаних. Значить, знайдеться шлях від точки u до точки v. проходить по синьому контуру. Довжина цього шляху вже точно не менше, ніж відстань від u до v по прямій, тобто C. Значить довжина E всього синього контуру теж не менше, ніж C.
Залишилося помітити, що периметр отриманої після складання фігури дорівнює C + D. Згідно попереднього абзацу, це число не перевищує E + D. Але E + D = A + B. а це і є периметр вихідного багатокутника.
Післямова
Дивно, але виявляється, периметр складеної фігури можна зробити не просто більше ніж периметр вихідного листа. Можна зробити його як завгодно великим. Ідея такого побудови в тому, щоб повторити конструкцію «тонкого журавлика», описану вище, багато разів уздовж всього аркуша паперу, по горизонталі і вертикалі. Якраз так і виходить морський їжак Ленга. Це дозволяє отримати як завгодно багато тонких відростків. Потрібно тільки переконатися, що сумарна довжина відростків може бути зроблена як завгодно великий.
У побудовах Ленга, однак, було декілька нерозв'язаних з математичної точки зору моментів. Справа в тому, що папір, як її розуміють орігамісти, відрізняється від ідеальної математичної паперу декількома параметрами. Найголовніша відмінність в тому, що орігамісти при складанні моделей іноді трохи розтягують або стискають папір, а для математичної паперу це заборонено. Математик не повірить в існування фігури більшого периметра, навіть якщо буде тримати її в руках: а раптом при її складанні була допущена неприпустима операція? Втім, інша відмінність паперу справжньою від математичної швидше грає на руку математикам: ідеальна папір не має товщини, а, значить, можна накладати скільки завгодно шарів паперу один на одного, і гнути отриманий «сендвіч», не боячись, що він порветься або розтріпається. Тільки робити це доводиться виключно в розумі. Якщо ви спробуєте зробити дуже тонкі відростки, як на рис. 4, - не дивуйтеся, якщо вони вийдуть пошарпаними і некрасивими.
Математично строге доведення того, що периметр можна зробити як завгодно великим (а заодно і сувора формулювання завдання), було запропоновано Олексієм Тарасовим в статті Рішення завдання Арнольда про «мятом рублі». Він не знав ні про журавлика, ні про морського їжака, а придумав оригінальну конструкцію, яка отримала згодом ім'я «гребінець Тарасова».
Ідею докази, що використовує журавлика, я взяв з зрозумілою і надзвичайно наочної статті А. Петрунина. Там же ви можете знайти деталі наведених тут міркувань, детальний історичний огляд, а також рішення іншої цікавої завдання «паперової геометрії»: чи можна скласти аркуш паперу таким чином, щоб периметр збільшився і результат був опуклим багатокутником?
Раджу також зайти на сайт Математичних Етюдів, де наша задача докладно розібрана. Там є багато картинок, в тому числі ілюструють побудову гребінця Тарасова.
Залишилися тут і невирішені завдання. Наприклад, до цих пір невідомо (наскільки я знаю), чи можна збільшити периметр, роблячи лише «напів» складки, як показано на рис. 6: згинаючи не вздовж всієї прямої, а тільки вздовж одного відрізка.
Мал. 6. полуприем складка