Якщо скоротити вийти
Якби велосипедист їхав з меншою на 4 км / год швидкістю, то х-4 = 2у х = 4 + 2у
у²-у-12 = 0 За теоремою Вієта в1 = 4 і у2 = -3 (не задовольняє змістом задачі).
Два туриста вирушили одночасно з пунктів А і В, відстань між якими 33 км, назустріч один одному. Через 3 год 12 хв відстань між ними скоротилася до 1 км (вони ще не зустрілися), а ще через 2 год 18 хв першого залишилося пройти до В втричі більшу відстань, ніж другого до А. Знайдіть швидкості туристів.
Нехай Х - відстань, що залишився другим пішоходу до пункту А, Y - швидкість першого пішохода, Z - швидкість другого пішохода.
Через 3 год 12хв рівняння спільного руху матиме вигляд:
Загальний час спільного руху: 3,2 + 2,3 = 5,5
Для цього моменту часу рівняння руху першого пішохода:
А другого: Z * 5,5 + X = 33
Складемо систему рівнянь.
Складемо друге і третє ураненія: 5.5 * Y-16,5 * Z = -66: 5.5 Y-3X = -12
Підставами отримане раніше значення Y в це рівняння: 10-Z-3Z = -12
Знаючи Y через Z, знайдемо значення Y: Y = 10-Z = 10-5,5 = 4,5
Відповідь: Швидкість першого пішохода дорівнює 4.5 км / год, а швидкість другого
З пунктів А в пункт В, відстань між якими дорівнює 70 км, виїхав велосипедист, а через деякий час - мотоцикліст, що рухався зі швидкістю 50км / год. Мотоцикліст наздогнав велосипедиста на відстані 20 км від пункту А. Прибувши в пункт В, мотоцикліст через 48 хв виїхав назад в пункт А і зустрівся з велосипедистом через 2 год 40 хв після виїзду велосипедиста з пункту А. Знайдіть швидкість велосипедиста.
Х- швидкість велосипедиста. Т - час руху велосипедиста до зустрічі з мотоциклістом.
(Х * Т) км проїде велосипедист до зустрічі з мотоциклістом.
20-Х * Т пройдуть разом велосипедист і мотоцикліст до зустрічі один з одним.
Мотоцикліст до зустрічі витратив 20/50 = 2/5 години.
Мотоциклістові залишилося проїхати до пункту В після зустрічі з мотоциклістом: 70 - 20 = 50 км
Це відстань він пройде за 50/50 = 1 годину
За умовою завдання велосипедист був у шляху 2 і 2/3 години.
Тоді (2 * 3 + 2) / 3-1 + 4/5 = 13/15 години був в дорозі мотоцикліст.
За цей час він проїхав 50 * 13/15 = (43 * 3 + 1) / 3 = 43⅓ (км)
Велосипедист пройшов 70 (43 * 3 + 1) / 3 = 26 і 2/3 кілометра.
А його швидкість ((26 * 3 + 2) / 3) / (2 * 3 + 2) / 3 = 10км / год.
Відповідь: швидкість велосипедиста дорівнює 10 км / год.
З міст А і В назустріч один одному одночасно вийшли два товарні потяги. Вони рухалися без зупинки, зустрілися через 24 годин після початку руху і продовжили свій шлях, причому перший поїзд прибув в пункт В на 20 год пізніше, ніж другий поїзд прибув в А. Скільки часу був у дорозі перший поїзд?
Нехай Х км / год - швидкість першого поїзда, Y км / ч-швидкість другого поїзда. Весь шлях приймемо за одиницю.
Складемо систему рівнянь.
Знайдемо Y з рівняння (2).
Y-X = 20 * X * Y -X = 20 * X * Y-Y X = Y * (1-20 * X)
Підставами отримане значення Y в рівняння (1) і вирішимо його.
Так як Х - швидкість першого поїзда, знайдемо час, за яке він пройде весь шлях.
За умовою завдання перше значення часу нас не влаштовує.
З пункту А в пункт С, що знаходиться на відстані 20 км від А, виїхала вантажівка. Одночасно з ним з пункту В, розташованого між А і С на відстані 15 км від А, в пункт С вийшов пішохід, а з З на зустріч їм виїхав автобус. За якийсь час вантажівка наздогнав пішохода, якщо відомо, що це сталося через півгодини після зустрічі вантажівки з автобусом, а пішохід до зустрічі з автобусом перебував у дорозі втричі менше часу, ніж вантажівка до зустрічі з автобусом?
Нехай Х км / год - швидкість пішохода, Y км / год - швидкість автобуса, Z км / год - швидкість вантажівки, Т- час руху велосипедиста до зустрічі з автобусом.
Відстань від пункту В до пункту С - 5км.
До зустрічі автобус і пішохід пройшли: Х * Т + Y * T = 5
До зустрічі вантажівка з автобусом проїхали відстань: 3 * T * Z + 3 * T * Y = 20
Вантажівка з пішоходом зустрілися: 20 (3 * T + 1/2) * Z = 5 (3 * T + 1/2) * X
Складемо систему рівнянь.
П реобразуем рівняння (3): 20-3 * T * Z-Z * 2 = 5-3 * T * X-X / 2
Знайдемо з рівняння (1) Т. Воно дорівнюватиме: T = 5 / (X + Y)
Підставами отримане значення Т в рівняння (2).
15 * Z + 15 * Y = 20 * X + 20 * Y 5 * Y = 15 * Z -20 * X: 5
Отримаємо: Y = 3 * Z-4 * X Z = (Y + 4 * X) / 3
Підставами Т в рівняння (4).
Підставами в отримане рівняння Z.
Вирішимо це квадратне рівняння:
X12 = -Y = 30 + 30 X1 = -Y не задовольняє умові.
Знайдемо значення Т:
Вантажівка наздожене пішохода за час рівне:
Відповідь: Вантажівка наздогнав пішохода за 3/4 години.
Від пристані А вниз за течією річки одночасно відійшли пліт і катер (швидкість течії постійна; швидкість катера щодо води постійна; швидкість плота щодо води дорівнює нулю). Катер доплив до пристані В, повернувся до пристані А і знову відплив до пристані В (без зупинок). До пристані В пліт і катер причалили одночасно, а зустрілися вони на відстані 3 км від пристані А. Визначте швидкість течії річки, якщо відомо, що на шлях від пристані А до пристані В катер витрачав на півгодини менше часу, ніж на шлях від В до А.
Нехай швидкість катера - Х км / год, а швидкість річки - Y км / год, відстань від А до В - S км.
Час руху катера вгору і вниз за течією річки можна записати:
Момент часу зустрічі катера і плота можна записати так:
Для моменту прибуття і катери і плота в пункт В можна записати:
Складемо систему рівнянь:
З рівняння (1) знайдемо S.
З рівняння (3) знайдемо Y.
3 * S * X * Y-S * X² = 0 Y = X / 3 X = 3 * Y
Підставами значення Х в рівняння, знайдемо S: = (X²-Y²) / 4 * Y S = 2 * Y
З рівняння (2) знайдемо значення Y.
3 * Y = 9 Y = 3 км / год X = 9 км / год S = 6 км
Відповідь: швидкість річки 3 км / год.
Два потяги одночасно в одному напрямку з міст А і В, розташованих на відстані 60 км один від одного, і одночасно прибули на станцію С. Якби один з них збільшив швидкість на 25 км / год, а інший - на 20км / год, то вони прибули б так само одночасно на станцію С, але на 2 ч раніше. Знайдіть швидкості поїздів.
Нехай швидкість першого поїзда - Х км / год, швидкість другого - Y км / ч. Час, витрачений в дорозі - Т ч.
Для шляхів, пройдених поїздами, можна записати рівняння:
У разі збільшення швидкості руху рівняння для часу прибуття має вигляд:
Те що час руху в цьому випадку скорочується, пишеться так:
Складемо систему рівнянь:
З 1-ого рівняння отримаємо:
Використовуючи 2-е рівняння, отримуємо:
20 * X * T = 25 * Y * T 4 * X = 5 * Y X = 5 * Y / 4
Підставами значення Х в рівняння для часу:
Підставами раніше отримане значення Х і Т в 3-тє рівняння системи.
Провівши необхідні перетворення, отримаємо:
Y1 = 40 Y2 = -60 не задовольняє умові.
Відповідь: швидкість першого поїзда 50 км / год, а другого 40 км / год.
З пункту А по одному і тому ж маршруту одночасно виїхали вантажівка і легковий автомобіль. Швидкість легкового автомобіля постійна і становить 6/5 швидкості вантажівки. Через 30 хв за ними з того ж пункту виїхав мотоцикліст зі швидкістю 90 км / ч. Знайдіть швидкість легкового автомобіля, якщо відомо, що мотоцикліст наздогнав вантажівку на годину раніше. Чим легковий автомобіль.
Нехай швидкість вантажівки - Х км / год, тоді швидкість легковика - 6/5 * X км / год, a Tч- час руху мотоцикліста до зустрічі з легковим автомобілем. До зустрічі з вантажівкою йому знадобиться (Т-1) ч.
Тоді шлях, пройдений мотоциклістом - 90 * Т кілометрів, шлях, пройдений легковим автомобілем- 6/5 * X * (T + 0,5) кілометрів, а шлях, пройдений мотоциклістом до зустрічі з вантажівкою 90 (Т-1) -0, 5 * Х кілометрів.
Складемо рівняння руху:
(90 * T-3/5 * X) / 6/5 * X- (90 * T-90-X / 2) / X = 1ч.
Методом підбору знайдемо Т і Х. Т = 1 Х = 75; Т = 2 Х = 60; Т = 3 Х = 45 ...
Знаючи швидкість вантажівки, знайдемо швидкість легковика: 60 * 6/5 = 72 км / год
Відповідь: швидкість легкового автомобіля 72 км / год.