Нескладно замостити площину паркетом з правильних трикутників, квадратів або шестикутників (під замощуванням ми розуміємо таку укладку, при якій вершини кожної фігури прикладаються тільки до вершин сусідніх фігур і не виникає ситуації, коли вершина приклалася до сторони). Приклади таких замощення наведені на рис. 1.
Мал. 1. Замощення площині: i - рівносторонніми трикутниками, ii - квадратами, iii - правильними шестикутниками
Ніякими іншими правильними n -угольнікамі покрити площину без пробілів і накладень не вийде. Ось як можна це пояснити. Як відомо, сума внутрішніх кутів будь-якого n -угольніка дорівнює (n - 2) · 180 °. Оскільки всі кути правильного n -угольніка однакові, то градусна міра кожного кута є. Якщо площину можна замостити такими постатями, то в кожній вершині сходиться k багатокутників (для деякого k). Сума кутів при цій вершині повинна становити 360 °, тому. Після декількох простих перетворень це рівність перетворюється в таке:. Але, як легко перевірити, останнє рівняння має тільки три пари рішень, якщо вважати, що n і k натуральні числа: k = 3, n = 6; k = 4, n = 4 або k = 6, n = 3. Цим парам чисел якраз і відповідають наведені на рис. 1 замощення.
А якими іншими багатокутниками можна замостити площину без пробілів і накладень?
а) Доведіть, що будь-яким трикутником можна замостити площину.
б) Доведіть, що будь-яким чотирикутником (як опуклим, так і неопуклого) можна замостити площину.
в) Наведіть приклад п'ятикутника, яким можна замостити площину.
г) Наведіть приклад шестикутника, яким не можна замостити площину.
д) Наведіть приклад n -угольніка для будь-якого n> 6, яким можна замостити площину.
Підказка 1
У пунктах а), в), д) можна спробувати скласти з однакових фігур «смужки», якими потім легко замостити всю площину.
Пункт б): складіть з двох однакових чотирикутників шестикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні. Такими шестикутниками замостити площину вже досить просто.
Пункт г): використовуйте той факт, що сума кутів при кожній вершині повинна бути дорівнює 360 °.
Підказка 2
У пункті д) можна спробувати діяти і по-іншому: трохи змінювати вже наявні фігури, щоб виходили нові замощення.
Післямова
Завдання замощення площині однаковими фігурками без пробілів і накладень відома з давніх часів. Один з її окремих випадків - питання про те, якими можуть бути паркети (тобто замощення площині правильними багатокутниками. Причому не обов'язково однаковими) і, зокрема, правильні паркети. Правильний паркет має таку властивість: за допомогою паралельних переносів (зрушень без обертань), які переводять паркет в себе, можна поєднати заздалегідь обраний вузол з будь-яким іншим вузлом паркету. На рис. 1 з умови зображені як раз правильні паркети.
Чи не занадто складно довести, що існує всього 11 різних типів правильних паркету (див. List of uniform tilings). Доводиться це приблизно так само, як ми в умові завдання доводили, що є всього три типи паркету з однакових правильних багатокутників - градусні міри кутів кожного правильного багатокутника відомі, потрібно лише підібрати їх так, щоб в сумі виходило 360 °, а це робиться просто невеликим перебором варіантів. Існує багато стародавніх мозаїк, в основу яких покладені ці паркети.
Мал. 7. Решта 8 типів правильних паркету. Зображення з сайту en.wikipedia.org
Мозаїки з глини, каменю і скла (і паркети з дерева і кахлю) - найбільш відоме і зрозуміле застосування даної теорії в життя. Багато з нас можуть переконатися в цьому, зайшовши до себе на кухню або у ванну. Майбутні дизайнери спеціально вивчають математичні паркети, адже вони і їх варіації часто використовуються в архітектурі і декорі.
Мал. 8. Геологічні утворення на мисі стовпчастих (острів Кунашир. Велика гряда Курильських островів)
Замощення зустрічаються і в природі. Крім всім відомих бджолиних сот найбільш яскраві приклади - це геологічні утворення на мисі стовпчастих (острів Кунашир, велика гряда Курильських островів) і «Дорога гігантів» в Північній Ірландії.
Мал. 9. «Дорога гігантів» (Північна Ірландія). Фото з сайту ru.wikipedia.org
Узагальнення нашого завдання - замощення простору - сучасний важливий розділ кристалографії, який грає важливу роль в інтегральній оптиці і фізики лазерів.
Як не дивно, до відносно недавніх часів були відомі тільки періодичні замощення (які повністю поєднуються з собою при деякому зсуві і його повторення). Однак в 1974 році англійський вчений Роджер Пенроуз придумав неперіодичні мозаїки, які тепер називають в його честь мозаїками Пенроуза. Пізніше (в 1984 році) подібні неперіодичні структури були відкриті в квазікристалів.
Мал. 10.Слева. Роджер Пенроуз стоїть на мозаїці Пенроуза. Справа. приклад мозаїки Пенроуза. Зображення з сайту en.wikipedia.org
На сторінці Penrose Tilings можна знайти багато прикладів мозаїк Пенроуза з докладним описом всіх тонкощів їх отримання.
Мал. 11. М. К. Ешер, «Рептилії», 1946 (ліворуч) і «Метелики», 1950
Паркети і мозаїки зустрічаються і в образотворчому мистецтві. Мабуть, найбільш відомі роботи голландця М. К. Ешера (M. C. Escher).
ЦИТАТА.
Правильний паркет має таку властивість: ЗА ДОПОМОГОЮ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПЕРЕНОСОВ (.), Які переводять паркет в себе, можна поєднати заздалегідь обраний вузол з будь-яким іншим вузлом паркету.
КІНЕЦЬ ЦИТАТИ.
По-моєму, це неправильно. правильно:
Правильний паркет має таку властивість: ЗА ДОПОМОГОЮ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПЕРЕНОСОВ (.) І обертання, які переводять паркет в себе, можна поєднати заздалегідь обраний вузол з будь-яким іншим вузлом паркету.
Щоб переконатися в цьому, в тому, що без обертань ніяк, досить поглянути на малюнок з будь-яким правильним паркетом, виключаючи лише правильні паркети, повністю складаються з однакових фігур, - тільки трикутників, тільки квадратів, тільки шестикутників.
З. И.. А взагалі завдання сподобалися.
Дякую за вірне зауваження: тільки паралельних переносів дійсно недостатньо. Однак для деяких правильних паркету недостатньо навіть паралельних переносів і обертань. Наприклад, для того, в кожному вузлі якого сходяться квадрат, шестикутник і двенадцатіугольнік.
Правильно було б сказати, що ЗА ДОПОМОГОЮ ПАРАЛЕЛЬНИХ ПЕРЕНОСОВ, обертання і симетрії, які переводять паркет в себе, можна поєднати заздалегідь обраний вузол з будь-яким іншим вузлом паркету.
У самому правому малюнку до відповіді на завдання в) - не замощення, так як має місце примикання кутів одних 5-кутників до сторони інших. Для отримання замощення потрібно трохи зрушити одну з "смужок" (на половину конфліктної сторони).