До початку XVII століття геліоцентрична система світу була визнана більшістю вчених. Однак в той час не були зрозумілі причини і закони, за якими планети рухаються.
І. Кеплер обробив результати безлічі своїх спостережень і свого колеги Т. Бразі, сформулював закони переміщення планет навколо Сонця. Стало зрозуміло, що для пояснення законів Кеплера, слід визначити, які сили діють на планети. Але Кеплеру і його сучасникам не вдалося це виконати. Завдання вирішив І. Ньютон.
Приблизно, можна вважати, що планети переміщаються рівномірно по орбітах, близьким до кіл. При такому вигляді руху матеріальної точки у неї є доцентрове прискорення, яке направлено до центру орбіти (для планети, центростремительной прискорення направлено до Сонця). З другого закону Ньютона випливає, що на планету, діє деяка сила, яка породжує нормальне прискорення. Виходить, що Сонце діє на кожну планету з силою, спрямованої до його центру. Відповідно до третього закону Ньютона, планета діє на Сонце з силою, рівною за величиною попередньої силі, але має протилежний зміст.
Закон всесвітнього тяготіння
Ми знаємо, що Місяць здійснює обертання навколо Землі. Місяць притягує Землю, Земля притягує Місяць. І. Ньютон припустив, що сила тяжіння, з якою Земля притягує всі тіла біля своєї поверхні, і сила з якою вона притягує Місяць, мають одне походження. Ньютон порівняв прискорення вільного падіння ($ g = 9,81 \ \ frac> $ близько поверхні Землі) і доцентрове прискорення ($ a_n $), яке має Місяць при русі по своїй орбіті. Ньютон отримав, що нормальне прискорення Місяця дорівнює $ a_n = 2,72 \ cdot ^ \ frac $. Розбіжність в величинах Ньютон пояснив тим, що сила тяжіння зменшується з ростом відстані між притягає тілами. Прискорення, викликане силою тяжіння, зменшується обернено пропорційно квадрату відстані ($ r $) між тілами:
Формулювання закону всесвітнього тяжіння
Аналіз нормального прискорення Місяця при її русі навколо Землі дозволили І. Ньютону зробити висновок про те, що всі тіла в природі притягуються з деякими силами, які називаються силами тяжіння.
Припустимо, що у нас є два тіла, маси яких дорівнюють $ m_1 $ і $ m_2 $. Знаходяться вони на відстані $ r $ друг від друга. Ці тіла взаємодіють один з одним з силами:
За третім законом Ньютона маємо:
Беручи до уваги вираз (1), отримуємо:
Вираз (4) буде виконуватися, якщо $ K_1 = \ gamma m_2, $ а $ K_2 = \ gamma m_1, $ де $ \ gamma $ = const. Тобто, ми отримали, що:
Формула (5) - математичний вираз закону всесвітнього тяжіння: Сила тяжіння між двома матеріальними точками прямо пропорційна їх масам і обернено пропорційна квадрату відстані між ними.
Для точного розрахунку сили взаємного тяжіння формула (5) може бути застосована тільки в тому випадку, якщо тілами є однорідні кулі, маси яких дорівнюють $ m_і \ m_2 $, а $ r $ - відстань між їх центрами.
гравітаційна стала
Коефіцієнт $ \ gamma $ називають гравітаційною сталою. У Міжнародній системі одиниць (система СІ) вона дорівнює $ \ gamma \ approx 6,67 \ cdot ^ \ frac. \ $ Гравітаційна стала чисельно дорівнює силі взаємодії матеріальних точок, що мають маси по одному кілограму, розташований на відстані в один метр. Гравітаційна стала знаходиться експериментально.
Одним з перших експеримент з вимірювання сили тяжіння в лабораторних умовах поставив Кавендіш. Так була визначена гравітаційна стала.
Приклади завдань з рішенням
Завдання. В чому полягає суть досвіду Кавендіша по вимірюванню сили гравітації?
Рішення. Зробимо малюнок.
Для проведення експерименту Кавендіш використовував крутильні ваги (рис.1). На тонкої кварцової нитки підвішувався легкий стрижень. На нитки жорстко закріплювалося маленьке дзеркало. Промінь світла потрапляв на дзеркало, відбивався від нього і падав на шкалу. Якщо стрижень повертався, то промінь переміщався по шкалі. Так відзначався кут закручування нитки. На кінцях стрижня були закріплені дві кульки зі свинцю, кожен масою $ m $. До цих кульках підносили два симетрично розташованих свинцевих кульки масами $ M $. Нитка закручувалася до моменту, коли сила пружності деформованої нитки не врівноважує силу гравітаційної взаємодії між кулями. Сила взаємодії вимірювалася за кутом закручування нитки. Знаючи маси куль і відстань між їх центрами, обчислювалася гравітаційна стала.
Завдання. Два однакових однорідних залізних кулі торкаються один одного (рис.2). Радіус кожного кулі дорівнює $ R = 0,1 $ м. Яка сила гравітації, що діє між цими кулями?
Рішення. Зробимо малюнок.
Основою для вирішення завдання служить закон всесвітнього тяжіння:
де $ m_1 = m_2 = m $ - маси кожного з куль, тоді закон гравітації запишемо у вигляді:
Відстань між центрами куль (рис.2) одно: $ r = 2R. $ Маси куль знайдемо як:
\ [M = \ rho \ frac \ pi R ^ 3 \ left (2.3 \ right). \]
Формулу (2.2) перетворимо так:
Для обчислення сили гравітації, знайдемо в довідниках щільність заліза ($ \ rho = 7800 \ \ frac $). Гравітаційна стала дорівнює: $ \ gamma = 6,67 \ cdot ^ \ frac. $ Проведемо обчислення: