За другим законом Ньютона причиною зміни руху, т. Е. Причиною прискорення тіл, є сила. У механіці розглядаються сили різної фізичної природи. Багато механічні явища і процеси визначаються дією сил тяжіння.
Закон всесвітнього тяжіння був відкритий І. Ньютоном в 1682 році. Ще в 1665 році 23-річний Ньютон висловив припущення, що сили, які утримують Місяць на її орбіті, тієї ж природи, що і сили, що змушують яблуко падати на Землю. За його гіпотезою між усіма тілами Всесвіту діють сили тяжіння (гравітаційні сили), спрямовані по лінії, що з'єднує центри мас (рис. 1.10.1). Поняття центру мас тіла буде строго визначено в § 1.23. У тіла у вигляді однорідного кулі центр мас збігається з центром кулі.
Гравітаційні сили тяжіння між тілами.
У наступні роки Ньютон намагався знайти фізичне пояснення законам руху планет (див. §1.24), відкритих астрономом І. Кеплером на початку XVII століття, і дати кількісне вираження для гравітаційних сил. Знаючи як рухаються планети, Ньютон хотів визначити, які сили на них діють. Такий шлях носить назву оберненої задачі механіки. Якщо основним завданням механіки є визначення координат тіла відомої маси і його швидкості в будь-який момент часу за відомими силам, чинним на тіло, і заданим початковим умовам (пряма задача механіки), то при вирішенні оберненої задачі необхідно визначити діючі на тіло сили, якщо відомо, як воно рухається. Вирішення цього завдання і призвело Ньютона до відкриття закону всесвітнього тяжіння.
Всі тіла притягуються одне до одного із силою, прямо пропорційною їх масам і обернено пропорційною квадрату відстані між ними:
Коефіцієнт пропорційності G однаковий для всіх тіл в природі. Його називають гравітаційною сталою
G = 6,67 · 10 -11 Н · м 2 / кг 2 (СІ).
Багато явища в природі пояснюються дією сил всесвітнього тяжіння. Рух планет в Сонячній системі, штучних супутників Землі, траєкторії польоту балістичних ракет, рух тіл поблизу поверхні Землі - всі вони знаходять пояснення на основі закону всесвітнього тяжіння і законів динаміки.
Одним з проявів сили всесвітнього тяжіння є сила тяжіння. Так прийнято називати силу тяжіння тіл до Землі поблизу її поверхні. Якщо M - маса Землі, RЗ - її радіус, m - маса даного тіла, то сила тяжіння дорівнює
де g - прискорення вільного падіння біля поверхні Землі:
Сила тяжіння спрямована до центру Землі. За відсутності інших сил тіло вільно падає на Землю з прискоренням вільного падіння. Середнє значення прискорення вільного падіння для різних точок поверхні Землі одно 9,81 м / с 2. Знаючи прискорення вільного падіння і радіус Землі (RЗ = 6,38 · 10 6 м), можна обчислити масу Землі М:
При видаленні від поверхні Землі сила земного тяжіння і прискорення вільного падіння змінюються обернено пропорційно квадрату відстані r до центру Землі. Мал. 1.10.2 ілюструє зміна сили тяжіння, що діє на космонавта в космічному кораблі при його видаленні від Землі. Сила, з якою космонавт притягується до Землі поблизу її поверхні, прийнята рівною 700 Н.
Зміна сили тяжіння, що діє на космонавта при видаленні від Землі
Прикладом системи двох взаємодіючих тіл може служити система Земля-Місяць. Місяць знаходиться від Землі на відстані Rл = 3,84 · 10 6 м. Це відстань приблизно в 60 разів перевищує радіус Землі RЗ. Отже, прискорення вільного падіння АЛ. обумовлене земним тяжінням, на орбіті Місяця становить
З таким прискоренням, спрямованим до центру Землі, Місяць рухається по орбіті. Отже, це прискорення є доцентровим прискоренням. Його можна розрахувати за кінематичною формулою для центростремительного прискорення (див. §1.6):
де T = 27,3 сут - період обертання Місяця навколо Землі. Збіг результатів розрахунків, виконаних різними способами, підтверджує припущення Ньютона про єдину природу сили, що утримує Місяць на орбіті, і сили тяжіння.
Власне гравітаційне поле Місяця визначає прискорення вільного падіння Gл на її поверхні. Маса Місяця в 81 разів менше маси Землі, а її радіус приблизно в 3,7 рази менше радіуса Землі. Тому прискорення Gл визначиться виразом:
В умовах такої слабкої гравітації виявилися космонавти, що висадилися на Місяці. Людина в таких умовах може здійснювати гігантські стрибки. Наприклад, якщо людина в земних умовах підстрибує на висоту 1 м, то на Місяці він міг би підстрибнути на висоту понад 6 м.
Розглянемо тепер питання про штучні супутники Землі. Штучні супутники рухаються за межами земної атмосфери, і на них діють тільки сили тяжіння з боку Землі. Залежно від початкової швидкості траєкторія космічного тіла може бути різною. Ми розглянемо тут тільки випадок руху штучного супутника по круговій навколоземній орбіті. Такі супутники літають на висотах близько 200-300 км, і можна наближено прийняти відстань до центру Землі рівним її радіусу RЗ. Тоді доцентровийприскорення супутника, повідомляє йому силами тяжіння, приблизно дорівнює прискоренню вільного падіння g. Позначимо швидкість супутника на навколоземній орбіті через υ1. Цю швидкість називають першою космічною швидкістю. Використовуючи кінематичну формулу для центростремительного прискорення. отримаємо:
Рухаючись з такою швидкістю, супутник облітав би Землю за час
Насправді період обертання супутника по круговій орбіті поблизу поверхні Землі трохи перевищує вказане значення через відмінності між радіусом реальної орбіти і радіусом Землі.
Рух супутника можна розглядати як вільне падіння, подібне руху снарядів або балістичних ракет. Різниця полягає лише в тому, що швидкість супутника настільки велика, що радіус кривизни його траєкторії дорівнює радіусу Землі.
Для супутників, що рухаються по кругових траєкторіях на значній відстані від Землі, земне тяжіння слабшає назад пропорційно квадрату радіусу r траєкторії. Швидкість супутника υ знаходиться з умови
Таким чином, на високих орбітах швидкість руху супутників менше, ніж на навколоземній орбіті.
Період T звернення такого супутника дорівнює
Тут T1 - період обертання супутника на навколоземній орбіті. Період обертання супутника зростає зі збільшенням радіуса орбіти. Неважко підрахувати, що при радіусі r орбіти, що дорівнює приблизно 6,6 RЗ. період обертання супутника виявиться рівним 24 годинам. Супутник з таким періодом обертання, запущений в площині екватора, буде нерухомо висіти над деякою точкою земної поверхні. Такі супутники використовуються в системах космічного радіозв'язку. Орбіта з радіусом r = 6,6 RЗ називається геостаціонарній.