сторінка 1
тест 7
Нормальний закон розподілу. Ймовірність влучення нормально розподіленої випадкової величини (НРСВ) в заданий інтервал.
Основні відомості з теорії.
Нормальним називають розподіл ймовірностей випадкової величини (СВ) X. якщо щільність розподілу визначається рівнянням:
, де a - математичне сподівання СВ X; - середньоквадратичне відхилення.
Графік симетричний відносно вертикальної прямої. Чим більше, тим більше розмах кривої. Значення функції є в таблицях.
Імовірність того, що СВ X прийме значення, що належить інтервалу:, де - функція Лапласа. Функція визначається за таблицями.
При = 0 крива симетрична відносно осі ОУ - це стандартне (або нормоване) нормальний розподіл.
Так як функція щільності ймовірності НРСВ симетрична щодо математичного очікування, то можна збудувати так звану шкалу розсіювання:
Видно, що з імовірністю 0,9973 можна стверджувати, що НРСВ прийме значення в межах інтервалу. Це твердження отримало в теорії ймовірностей назву "правила Трьох сигм".
1. Порівняйте величини для двох кривих НРСВ.
2. Безперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу ймовірностей. Тоді математичне очікування цієї нормально розподіленої випадкової величини дорівнює:
3. НРСВ Х задана щільністю розподілу:.
Математичне сподівання і дисперсія цієї СВ рівні:
= 25 = 1 = 25
4. Правило трьох сигм означає, що:
1) Імовірність попадання СВ в інтервал, тобто близька до одиниці;
2) НРСВ не може вийти за межі;
3) Графік щільності НРСВ симетричний щодо математичного очікування
5. СВ Х розподілена нормально з математичним очікуванням, рівним 5 і СКО, рівним 2 одиниці. Вираз для щільності розподілу цієї НРСВ має вигляд:
6. Математичне сподівання і СКО НРСВ Х рівні 10 і 2. Імовірність того, що в результаті випробування СВ Х прийме значення, укладену в інтервалі [9; 11], становить:
1) 0,1915 2) 0,3830 3) 0,6211
7. Деталь вважається придатною, якщо відхилення Х дійсного розміру від розміру на кресленні за абсолютною величиною менше, ніж 0,7 мм. Відхилення Х від розміру на кресленні є НРСВ зі значенням = 0,4 мм. Виготовлено 100 деталей; з них придатних буде:
8. Математичне сподівання і СКО НРСВ Х рівні 10 і 2. Імовірність того, що в результаті випробування СВ Х прийме значення, укладену в інтервалі [12; 14] становить:
1) 0,1359 2) 0,8641 3) 0,432
9. Похибка Х виготовлення деталі є НРСВ зі значенням a = 10 і = 0,1. Тоді з ймовірністю 0,9973 інтервал розмірів деталей, симетричний щодо a = 10 буде:
1) 9,7; 10,3 2) 9,8; 10,2 3) 9,9; 10,1
10. Зважують всі вироби без систематичних помилок. Випадкові помилки Х вимірювання підпорядковані нормальному закону із значенням = 10 м Імовірність того, що зважування буде зроблено з помилкою що не перевищує за абсолютною величиною 15 г становить:
1) 0,8664 2) 0,1336 3) 0,4332
11. НРСВ Х має математичне сподівання a = 10 і СКО = 5. З ймовірністю 0,9973 величина Х потрапить в інтервал:
1) (5; 15) 2) (0; 20) 3) (-5; 25)
12. НРСВ Х має математичне сподівання a = 10. Відомо, що ймовірність попадання Х в інтервал [10; 20] дорівнює 0,3. Тоді ймовірність попадання СВ Х в інтервал [0; 10] буде дорівнює:
13. НРСВ Х має математичне сподівання a = 25. Ймовірність влучення Х в інтервал [10; 15] дорівнює 0,2. Тоді ймовірність попадання Х в інтервал [35; 40] буде дорівнює:
14. Температура в приміщенні підтримується нагрівачем і має нормальний розподіл з і. Імовірність того, що температура в цьому приміщенні буде в межах від до становить:
1) 0,95 2) 0,83 3) 0,67
15. Для стандартизованого нормального розподілу величина дорівнює:
16. Емпіричне нормальний розподіл утворюється в тому випадку, коли:
1) діє велика кількість незалежних випадкових причин, що мають приблизно однаковий статистичний вага;
2) діє велика кількість сильно залежних між собою випадкових величин;
3) обсяг вибірки невеликий.
Значення визначає розмах кривої щільності розподілу щодо математичного очікування. Для кривої 2 розмах більше, тобто