Теорія пружності вивчає напруги і деформації пружних тіл, що виникають під дією на них зовнішніх сил (навантаження).
Пружність - це здатність тіла, який змінив свою форму і розміри під навантаженням, приймати вихідні розміри і форму після зняття навантаження. Якщо зміна розмірів тіла лінійно залежить від навантаження, то має місце лінійна пружність. Тіло, що володіє цією властивістю, називають ідеально пружним. Матеріали, що володіють ідеальною пружністю - це сталь, чавун, алюміній, дерево, скло. Якщо зміна розмірів тіла нелінійно залежить від навантаження, то говорять про нелінійної пружності. Нелінійної пружністю володіє, наприклад, гума. Ми будемо вивчати лінійну теорію пружності.
Мал. 1 - Лінійна (1) і нелінійна (2) пружність
Якщо в кожній точці властивості тіла однакові у всіх напрямках, то таке тіло називають ізотропним. З інженерної точністю ізотропної можна вважати сталь. Якщо в кожній точці властивості тіла різні в різних напрямках, то таке тіло називають анізотропним. Такими властивостями володіє дерево, яке має одні властивості вздовж волокон і інші - поперек волокон. Ми будемо вивчати лінійну теорію пружності ізотропних тіл.
Додатково введемо такі обмеження:
- Матеріал тел є однорідним. т. е. його властивості однакові в усіх точках тіла;
- Матеріал тел володіє сплошностью. т. е. деформування тіла відбувається без розривів;
- Розглядаються тільки тіла, деформації та переміщення яких під навантаженням малі в порівнянні з розмірами тіла.
Таким чином, з нашого розгляду випадають проблеми стійкості пружної рівноваги, розрахунки сильно вигнутих стержнів і вигин пластин і оболонок при прогинах, порівнянних з товщиною оболонки. Ці завдання розглядає геометрично нелінійна теорія пружності.
Лінійна теорія пружності вивчає внутрішні сили, що виникають в ідеально пружному тілі під дією на нього зовнішніх сил.
Таким чином, сили поділяються на зовнішні (сили взаємодії різних тіл) і внутрішні (сили, що виникають між двома суміжними елементами всередині тіла). Зовнішні сили бувають включені в точці (зосереджені), по поверхні тіла (поверхневі) і в кожній точці тіла (об'ємні).
Розглянемо тіло, що знаходиться в рівновазі під дією зовнішніх сил F1, F2, ..., Fn (рис. 2а). Між частинами тіла виникають внутрішні сили взаємодії, які можуть зруйнувати тіло. Щоб визначити ці сили в який нас перетині, подумки розчленуємо тіло на дві частини і, відкинувши праву частину, замінимо її дію на решту рівнодіюча силою Р (рис. 2б).
Нехай вісь OX спрямована перпендикулярно нашому перетину. Тоді осі OY і OZ розташовані в площині перетину. Проекція рівнодіюча сили P на вісь OX дає нам нормальну Px. а на осі OY і OZ - дотичні Py і Pz складові цієї сили.
Насправді сила P прикладена не в точці, а нерівномірно розподілена по всьому перетину. Інтенсивність цієї сили, тобто силу, діючу на одиниці площі, називають напругою. Повна напруга в точці визначають як межа відносини:
Нормальна напруга в точці визначають як межа відносини
Дотичні напруження в точці визначають як межі відносин
Перший індекс при дотичних напруженнях позначає напрямок дотичних напружень, а другий індекс - вісь, нормальну до межі, на якій діють дотичні напруження. Виріжемо подумки в довільній точці розглянутого перетину елементарний паралелепіпед зі сторонами dx, dy і dz і розглянемо напруги, що діють на гранях цього паралелепіпеда (рис. 3).
Мал. 3 - Напруження на гранях елементарного паралелепіпеда
Тоді в кожній точці діють напруги, які подаються матрицею, званої тензором напружень.
Ясно, що складові тензора напружень залежать від вибору системи координат.
Через складові тензора напружень можна знайти так зване еквівалентне напруження, яке не залежить від вибору системи координат. Еквівалентне напруження можна зіставити з характеристикою міцності матеріалу, яка представляється допускаються напругою.
Тоді умова міцності записується в певний вид:
Завдання теорії пружності полягає в найбільш точному визначенні складових тензора напружень, а значить і еквівалентного напруги.
Позначимо схематично області застосування різних теорій для опису напружено-деформованого стану деталей на діаграмі розтягування зразка з м'якої сталі до руйнування.
Мал. 4 - Області застосування різних теорій: I - теорія пружності, II - теорія пластичності, III - механіка руйнування
Якщо напруги в розрахунках виходять більше межі текучості sт (в сучасних позначеннях Rp), то їх називають умовно-пружними. Існують методи, які дозволяють за допомогою пружних рішень вивчати пружно-пластичне і пластичний стан деталі. Розглянемо загальну структуру теорії пружності.
Мал. 6 - Структурна схема теорії пружності
З 70-х років в роботах по теорії пружності найчастіше використовують сучасний математичний апарат. Формальний математичний апарат - це позначення і формалізація об'єктів і дій над ними. В теорії пружності використовують тензорне обчислення. Ми в нашому курсі будемо використовувати тензорне обчислення тільки як ілюстрацію короткої записи розгорнутих виразів. Для можливості короткої записи осі координат і індекси напруг позначаються не букви, а числами.
Ранг тензора - це число індексів при ньому. Як буде показано в подальшому, тензор напружень - це тензор другого рангу. За визначенням тензором другого рангу називають сукупність величин Aij. які залежать від двох індексів і перетворюються при зміні системи координат за формулами
Ранг тензора не пов'язаний з розмірністю простору! Розмірність простору визначається числом значень, яке приймає кожен індекс. Якщо i. j. k. l приймають значення 1, 2, 3, то тензор (*) визначено в тривимірному просторі. Правила згортання-розгортання виразів: по внутрішнім (повторюваним в одночленной) індексам k. l проводиться підсумовування, а наскрізні (повторювані зліва і справа) індекси i. j визначають число рівнянь. Приклад розгортання вираження (*) для значень i = 2, j = 3:
Ще одне скорочення в запису - приватні похідні позначаються індексом за коми. наприклад:
Тоді запис позначає кілька співвідношень:
Надалі ми переконаємося, що табличка напружень в точці є тензором другого рангу, т. Е. Задовольняє співвідношенням (*) при зміні системи координат.