Підписи до слайдів:
«Загадка трьох точок» Інформаційно-дослідницький проект
Цілі проекту: побудова перетинів в кубі, що проходять через три точки; складання задач за темою «Перетин куба площиною»; оформлення презентації; підготовка виступу.
В геометрії немає царської дороги Евклід
Аксіоми стереометрії Через будь-які три точки простору, що не лежать на одній прямій, проходить єдина площина.
Для вирішення багатьох геометричних задач, пов'язаних з кубом корисно вміти будувати на малюнку їх перетину різними площинами. Під перетином будемо розуміти будь-яку площину (назвемо її січною площиною), по обидва боки від якої є точки даної фігури. Січна площина перетинає багатогранник по відрізках. Багатокутник, який буде утворений цими відрізками, і є перетином фігури.
Правила побудови перерізів многогранників: 1) проводимо прямі через точки, що лежать в одній площині; 2) шукаємо прямі перетину площини перетину з гранями багатогранника, для цього: а) шукаємо точки перетину прямої належить площині перетину з прямою, що належить одній з граней (що лежать в одній площині); б) паралельні грані площину перетину перетинає вздовж паралельних прямих.
Куб має шість граней. Його переріз, можуть бути. трикутники, чотирикутники, п'ятикутник, шестикутники.
Розглянемо побудову цих перетинів.
Отриманий трикутник EFG буде шуканим перетином. Побудувати переріз куба площиною, що проходить через точки E. F. G. лежать на ребрах куба.
Побудувати переріз куба площиною, що проходить через точки A, C і M.
Для побудови перерізу куба, що проходить через точки лежать на ребрах куба, що виходять з однієї вершини, досить просто з'єднати дані точки відрізками. У перетині вийде трикутник.
Побудувати переріз куба площиною, що проходить через точки E. F. G. лежать на ребрах куба.
Отриманий прямокутник BCFE буде шуканим перетином. Побудувати переріз куба площиною, що проходить через точки E. F. G. лежать на ребрах куба, для яких AE = DF. Рішення. Для побудови перерізу куба, що проходить через точки E. F. G. з'єднаємо точки E і F. Пряма EF буде паралельна AD і, отже, BC. З'єднаємо точки E і B. F і C.
Побудувати переріз куба площиною, що проходить через точки E. F. лежать на ребрах куба і вершину B. Рішення. Для побудови перерізу куба, що проходить через точки E. F і вершину B. З'єднаємо відрізками точки E і B. F і B. Через точки E і F проведемо прямі, паралельні BF і BE. відповідно.
Отриманий паралелограм BFGE буде шуканим перетином Побудувати переріз куба площиною, що проходить через точки E. F. лежать на ребрах куба і вершину B. Рішення. Для побудови перерізу куба, що проходить через точки E. F і вершину B. З'єднаємо відрізками точки E і B. F і B. Через точки E і F проведемо прямі, паралельні BF і BE. відповідно.
Площина перерізу паралельна одному з ребер куба або проходить через ребро (прямокутник) площину перетину перетинає чотири паралельних ребра куба (паралелограм)
Отриманий п'ятикутник EFSGQ буде шуканим перетином Побудувати переріз куба площиною, що проходить через точки E. F. G. лежать на ребрах куба. Рішення. Для побудови перерізу куба, що проходить через точки E. F. G. проведемо пряму EF і позначимо P її точку перетину з AD. Позначимо Q. R точки перетину прямої PG з AB і DC. Позначимо S точку перетину FR c СС 1. З'єднаємо точки E і Q. G і S.
Через точку P проводимо пряму, паралельну MN. Вона перетинає ребро BB1 в точці S. PS - слід січної площини в межі (BCC1). Проводимо пряму через точки M і S, що лежать в одній площині (ABB1). Отримали слід MS (видимий). Площині (ABB1) і (CDD1) паралельні. У площині (ABB1) вже є пряма MS, тому через точку N в площині (CDD1) проводимо пряму, паралельну MS. Ця пряма перетинає ребро D1C1 в точці L. Її слід - NL (невидимий). Точки P і L лежать в одній площині (A1B1C1), тому проводимо через них пряму. П'ятикутник MNLPS - шукане перетин.
У перетині куба площиною може вийде тільки той п'ятикутник, у якого є дві пари паралельних сторін.
Побудувати переріз куба площиною, що проходить через точки E. F. G. лежать на ребрах куба. Рішення. Для побудови перерізу куба, що проходить через точки E. F. G. знайдемо точку P перетину прямої EF і площини грані ABCD. Позначимо Q. R точки перетину прямої PG з AB і CD. Проведемо пряму RF і позначимо S. T її точки перетину з CC 1 і DD 1. Проведемо пряму TE і позначимо U її точку перетину з A 1 D 1. З'єднаємо точки E і Q. G і S. F і U. Отриманий шестикутник EUFSGQ буде шуканим перетином.
У перетині куба площиною може вийде тільки той шестикутник, у якого є три пари паралельних сторін.
Дано: M € AA1. N € B1C1, L € AD Побудувати: (MNL)