1. Власні інтеграли, залежні від параметра [2,5]
Нехай в прямокутнику визначена функція, інтегрована з на сегменті при будь-якому фіксованому. У цьому випадку на визначена функція, звана інтегралом, що залежать від параметра.
Теорема 1. Якщо неперервна в прямокутнику, то функція:
1) неперервна на сегменті;
2) інтегрована на сегменті і справедливо рівність
41) Розглянемо прирощення. Для доказу безперервності функції необхідно довести, що при. Так як функція неперервна на замкненому безлічі, то по теоремі Кантора вона рівномірно неперервна на ньому. отже,
Звідки за теоремою про повну загальну середню отримуємо, що.
2) Так як функція неперервна на сегменті, то вона інтегровна на цьому сегменті, тобто існує подвійний інтеграл. Отже, повторні інтеграли (фігурують в співвідношенні) рівні, що доводить справедливість формули 3
Теорема 2. Якщо функція і її похідна неперервні в прямокутнику, то функція неперервно диференційовна на сегменті і її похідна може бути обчислена за правилом Лейбніца.
4Рассмотрім допоміжну функцію. Так як неперервна в прямокутнику, то за попередньою теоремою неперервна на і інтеграл від функції може бути знайдений за формулою.
Отже,. Похідна від інтеграла із змінною верхньою межею від неперервної функції існує і дорівнює значенню цієї функції в точці, тому
Загальний випадок. Якщо при будь-якому фіксованому з сегмента функція інтегровна за на сегменті, то на сегменті визначена функція
представляє собою інтеграл, що залежить від параметра, у якого межі інтегрування також залежать від параметра.
Теорема 3. Нехай функція неперервна на прямокутнику, а функції і безупинні на сегменті. Тоді функція неперервна на сегменті.
4Пусть - фіксоване. Уявімо в наступній формі
Так як - інтеграл, що залежить від параметра, з постійними межами інтегрування та з безперервною підінтегральної функцією, то в силу теореми 1 цей інтеграл є безперервною функцією від і тому при прагне до.
Для інтегралів і справедливі такі оцінки (теорема про повну загальну середню):
де. Так як функції і безупинні на сегменті, то при і, а значить і інтеграли, також прагнуть до 0. Таким чином, межа правої частини при існує і дорівнює. Отже, функція неперервна в будь-якій точці сегмента .3
Слідство. Якщо то
Теорема 4. Нехай функція і її похідна неперервні в прямокутнику. Нехай далі функції і мають похідні на сегменті. Тоді функція диференційована на сегменті, причому
4Пусть - фіксоване. Уявімо у вигляді.
- інтеграл, що залежить від параметра, з постійними межами інтегрування та з безперервною підінтегральної функцією, тому, в силу теореми 2, функція диференційована на сегменті і.
За визначенням похідної для функції отримаємо.
За формулою середнього значення. З безперервності функції випливає, що; а з і дифференцируемости функції випливає, що. Тому
Аналогічно доводиться, що. Так як довільна точка сегмента, то можна стверджувати, що функція диференційована на сегменті і її похідна може бути обчислена за формулою .3
2. Невласні інтеграли від обмежених функцій,
залежать від параметра
Нехай в півсмузі задана функція, інтегрована по в несобственном сенсі на променя при будь-якому фіксованому з сегмента. При цих умовах на сегменті визначена функція, звана невласних інтегралом першого роду, залежним від параметра. При цьому говорять, що інтеграл сходиться на сегменті.
Невласний інтеграл називається рівномірно збіжним по параметру на сегменті, якщо він сходиться на сегменті і якщо можна вказати таке, що залежить тільки від, що і виконується нерівність.
2.1. ознаки збіжності
Теорема 5 (критерій Коші). Для того, щоб невласний інтеграл рівномірно сходився по параметру на сегменті, необхідно і достатньо, щоб можна було вказати число, залежне тільки від і таке, що і:
Слідство. Невласний інтеграл, сходиться рівномірно на сегменті, якщо
Теорема 6 (ознака Вейєрштрасса). Нехай функція визначена в півсмузі і для кожного з сегмента інтегрована по на будь-якому сегменті. Нехай далі для всіх точок півсмуги виконується нерівність, тобто рівномірно обмежена на. Тоді з збіжності інтеграла випливає рівномірна збіжність по на сегменті інтеграла.
4Так як, то. З збіжності слід (за критерієм Коші) рівномірна збіжність інтеграла .3
Слідство. Нехай функція, певна в півсмузі, обмежена в цій півсмузі і при кожному інтегрована по на будь-якому сегменті. Тоді, якщо сходиться інтеграл, то сходиться рівномірно по на сегменті інтеграл.
Теорема 7. (Ознаки Діріхле і Абеля).