Мета роботи - експериментальна перевірка теореми Гюйгенса - Штейнера і визначення моментів інерції тіл простої форми.
В експерименті використовується зв'язок між періодом коливань крутильного маятника і його моментом інерції. Як маятника обрана кругла платформа, підвішена в полі тяжіння на трьох довгих нитках (тріфілярний підвіс). Платформа може здійснювати крутильні коливання навколо вертикальної осі. На платформу поміщаються тіла різної форми, вимірюються періоди коливань маятника і визначаються значення моментів інерції цих тіл. Теорема Гюйгенса - Штейнера перевіряється за відповідністю між експериментальної і теоретичної залежностями моментів інерції вантажів від їх відстані до центру платформи.
Основне рівняння обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі має вигляд
де w - кутова швидкість обертання, J - момент інерції тіла відносно осі обертання, М - момент зовнішніх сил відносно цієї осі.
Мал. 20. Пристрій тріфілярного підвісу.
Теорема Гюйгенса - Штейнера. якщо момент інерції тіла відносно деякої осі обертання, що проходить через центр мас, має значення J0. то щодо будь-якої іншої осі, що знаходиться на відстані а від першої і паралельної їй, він буде дорівнює
де m - маса тіла.
Для перевірки теореми Гюйгенса - Штейнера в даній роботі досліджуються крутильні коливання твердого тіла на тріфілярном підвісі. Тріфілярний підвіс являє собою круглу платформу радіуса R. підвішену на трьох симетрично розташованих нитках однакової довжини, укріплених у її країв (рис. 20). Нагорі ці нитки також симетрично прикріплені до диска трохи меншого розміру (радіуса r). Платформа може здійснювати крутильні коливання навколо вертикальної осі ГО ¢. перпендикулярної до її площини і проходить через її центр. Такий рух платформи призводить до зміни положення її центра ваги по висоті.
Якщо платформа маси m. обертаючись в одному напрямку, піднялася на висоту h. то прирощення її потенційної енергії дорівнюватиме
де g - прискорення сили тяжіння. Обертаючись в іншому напрямку, платформа прийде в стан рівноваги (h = 0) з кінетичної енергією, яка дорівнює
де J - момент інерції платформи, w0 - кутова швидкість обертання платформи в момент проходження нею положення рівноваги.
Нехтуючи роботою сил тертя, на підставі закону збереження механічної енергії маємо:
Вважаючи, що платформа здійснює гармонійні крутильні коливання, можна записати залежність кутового зміщення платформи a від часу t у вигляді
де a - кутовий зсув платформи, a0 - кут максимального повороту платформи, тобто амплітуда кутового зсуву, Т - період коливання. Для кутової швидкості w. яка є першою похідною за часом від величини зсуву, можна записати
У моменти проходження платформи через положення рівноваги (t = 0, 0,5 т. ...) величина w (t) буде максимальна і дорівнює
З виразів (7.5) і (7.8) випливає, що
Якщо l довжина ниток підвісу, R - відстань від центру платформи до точок кріплення ниток на ній, r - радіус верхнього диска (рис. 20), то легко бачити, що
а при максимальному відхиленні платформи від положення рівноваги
При малих кутах відхилення a0 значення синуса цього кута можна замінити просто значенням a0. З огляду на також, що при R < При цьому закон збереження енергії (7.9) набуде вигляду: звідки випливає, що За формулою (7.16) можна експериментально визначити момент інерції порожньої платформи або платформи з тілом, покладеним на неї, так як всі величини в правій частині формули безпосередньо вимірюються. Слід пам'ятати, що m - це сумарна маса платформи і досліджуваного тіла, покладеного на неї. Схема установки показана на рис. 20. Ставлення радіусу платформи до довжини ниток підвісу R / l <0,05, что соответствует приближениям, используемым при выводе формулы (7.16). Тіла на платформу необхідно класти строго симетрично, так, щоб не було перекосу платформи. Для полегшення визначення положення вантажів і більш точної їх установки на платформі нанесені радіальні лінії і концентричні кола на певній відстані один від одного (5 мм). Обертальний імпульс, необхідний для запуску крутильних коливань, повідомляється платформі шляхом повороту верхнього диска навколо осі. Це досягається за допомогою важеля, закріпленого на верхньому диску. При такому порушенні майже повністю відсутні інші види коливань, наявність яких ускладнює вимірювання. При вимірах неприпустимо користуватися амплітудами коливань, великими 10 °. Вимірювання часу коливань може проводитися або за допомогою ручного секундоміра або за допомогою таймера. Порядок виконання роботи Завдання 1.Ізмереніе моменту інерції порожньої платформи Вимірювання та обробка результатів 1. Момент інерції порожньої платформи Jпл визначається за формулою (7.16). При цьому період коливань порожньої платформи Т і його похибка визначаються на досвіді, а величини l, R, r, m і їх похибки даються, як постійні установки. 2. Повідомляють платформі обертальний імпульс і вимірюють час t деякого числа (N = 15 - 20) повних коливань. Такі вимірювання повторюють 5 разів. Отримані результати заносять в таблицю 1 звіту. 3. За експериментальними даними для кожного досвіду знаходять значення періоду крутильних коливань. 4. Знаходять середнє значення і повну похибка періоду коливань. При цьому систематична похибка у вимірі періоду може бути взята рівною. 5. Обчислюють момент інерції платформи JплЕ. Знаходять величину відносної і абсолютної похибки для моменту інерції платформи. 6. Розраховують теоретично момент інерції платформи JплT. виходячи з її маси і розмірів. Знаходять похибка такого розрахунку. 7. Порівнюють виміряний на досвіді і обчислене теоретично значення моменту інерції порожньої платформи. Вказують на скільки відсотків експериментальне значення відрізняється від теоретичного: Завдання 2. Визначення моментів інерції тіл заданої форми Вимірювання та обробка результатів 1. Платформу по черзі навантажують досліджуваними тілами таким чином, щоб їх центр мас збігався з віссю обертання платформи. Як досліджуваних тел вибираються пластини, що мають форму квадрата, прямокутника, рівностороннього трикутника, диска, а також інші тіла правильної геометричної форми. 2. Вимірюють час декількох коливань всієї системи. Для кожного тіла проводять вимірювання 3 - 5 разів. Результати вимірювань заносять в таблицю 2 звіту. 3. Обчислюють моменти інерції навантажених платформ JN і їх похибки. При цьому необхідно врахувати, що в формулу (7.16) слід підставляти суму мас тіла і платформи, а в формулі похибки похибка маси дорівнює сумарній погрішності маси платформи і тіла. 4. Користуючись тим, що момент інерції - величина адитивна, обчислюють моменти інерції тіл: J е = JN - JплЕ. Знаходять величину абсолютної і відносної похибки для моментів інерції тіл. 5. Проводять порівняння експериментально отриманих значень моментів інерції з розрахованими теоретично (див. Додаток). Результати розрахунків заносять в таблицю 3 звіту. Завдання 3. Перевірка теореми Гюйгенса - Штейнера Вимірювання та обробка результатів 1. Для перевірки теореми Гюйгенса - Штейнера використовують два або кілька однакових тіл, що мають циліндричну форму. 2. Встановлюють вантажі в центрі платформи, поклавши їх один на інший. Збуджують крутильні коливання платформи. Вимірюють час t декількох коливань (N = 15 - 20). Дані заносять в таблицю 4 звіту. 3. Мають вантажі симетрично на платформі щодо осі обертання. Проводять вимір часу коливань для 5 - 7 положень вантажів, поступово переміщаючи їх до країв платформи. Заносять в таблицю 4 значення відстаней від центру мас кожного тіла а до центру платформи, число коливань N і час цих коливань tN. 4. Для кожного положення вантажів визначають період коливань вантажів Ti. Мал. 21. Схематичне уявлення залежності J від a 2 5. Заносять в таблицю значення а 2. 6. Для кожного положення вантажів знаходять значення моменту інерції платформи з вантажами Ji за формулою (7.16). 7. Отримані значення моменту інерції Ji наносять на графік залежності моменту інерції системи тіл від квадрата відстані центру мас вантажів до осі обертання а 2 (схематично ця залежність представлена на рис. 21). Як випливає з теореми Гюйгенса - Штейнера, цей графік повинен бути прямою лінією, з кутовим коефіцієнтом чисельно рівним 2mгр. де mгр - маса одного вантажу. Крім того, відрізок, що відсікається від осі ординат, дорівнює сумі моментів інерції ненагруженной платформи і моментів інерції вантажів b = Jпл + 2J0гр. 8. З залежності J = f (a 2) визначають значення mгр і величину b. Порівнюють отримане значення з масами вантажів, використовуваними в роботі, а також отримане значення b з розрахунковим значенням. Збіг цих величин (з урахуванням похибок обчислень) також підтверджує теорему Гюйгенса-Штейнера. 1. Запишіть основне рівняння динаміки обертального руху. 2. Що називають моментом інерції матеріальної точки, твердого тіла? 3. Що називають моментом сили? 4. Сформулюйте теорему Гюйгенса-Штейнера. 5. Сформулюйте закон збереження механічної енергії. 6. Як розрахувати кінетичну енергію тіла, що обертається? 7. Запишіть рівняння гармонійних крутильних коливань. 8. Як визначити кутову швидкість обертання, максимальну кутову швидкість? 9. Як в даній роботі розрахувати максимальну висоту підйому центра ваги платформи? 10. Отримайте формулу для розрахунку моменту інерції платформи. Як розрахувати момент інерції тіла на платформі? 11. Як розрахувати моменти інерції платформи і запропонованих тел виходячи з їх геометричних розмірів і форми? 12. Як, використовуючи графік J від a 2, розрахувати масу кожного з вантажів (в завданні 3). Лабораторна робота № 8Схожі статті