Пряма. має з колом тільки одну спільну точку, називається дотичною до кола. а їх загальна точка називається точкою дотику прямої та кола.
Теорема (властивість дотичної до кола)
Дотична до кола перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.
Дано. р- дотична до кола
А - точка дотику
Доведемо методом «від супротивного».
Припустимо, що р ОА, тоді ОА - похила до прямої р.
Якщо з точки Про провести перпендикуляр ОН до прямої р, то його довжина буде менше радіуса: ОН<ОА=r
Отримаємо, що відстань від центру кола до прямої р (ОН) менше радіуса (r). значить пряма р - січна (тобто має з колом дві спільні точки), що суперечить умові теореми (р- дотична).
Значить припущення невірно, отже пряма р перпендикулярна ОА.
Теорема (Властивість відрізків дотичних, проведених з однієї точки)
Відрізки дотичних до кола, проведені з однієї точки, рівні і складають рівні кути з прямою, що проходить через цю точку і центр кола.
АВ і АС - дотичні до окр. (О; r)
1) ОВ АВ, ОС АС, як радіуси. проведені в точку дотику (властивість дотичної)
2) Розглянемо тр. АОВ і тр. АОС - п / у
ОВ = ОС (як радіуси)
Значить. АВО = АОС (по гіпотенузі і катету). отже,
АВ = АС. <3 = <4 (как соответственные элементы в равных тр-ках). ч.т.д.
Теорема (Ознака дотичній)
Якщо пряма проходить через кінець радіуса, що лежить на колі, і перпендикулярна цьому радіусу, то вона є дотичною.
Дано. ОА - радіус кола
Довести. р- дотична до кола
ОА - радіус кола (за умовою) (ОА = r)
ОА - перпендикуляр з Про до прямої р (ОА = d)
Значить, r = ОА = d. значить пряма р і окружність мають одну спільну точку.
Отже. пряма р - дотична до кола. ч.т.д.
3 .властивості хорд і січних.
Властивості дотичної і січною
Окружністю називається геометричне місце точок, рівновіддалених від однієї точки, яка називається центром кола.
Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називається хордою (на малюнку це відрізок). Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром кола.
1. Дотична перпендикулярна радіусу, проведеного в точку дотику.
2. Відрізки дотичних, проведених з однієї точки, рівні.
3. Якщо з точки, що лежить поза колом, проведені дотична і січна, то квадрат довжини дотичній дорівнює добутку січної на її зовнішню частину: