4. Знайти найбільший цілий розв'язок нерівності:
Помножимо обидві частини нерівності на 15 - найменший спільний знаменник даних дробів. Отримуємо рівносильне нерівність:
3 · (x-2) -5 · (2x + 3)> 15. Розкриваємо дужки: 3x-6-10x-15> 15 і спрощуємо:
3x-10x> 15 + 6 + 15. Отримуємо -7x> 36. Ділимо обидві частини нерівність на негативний коефіцієнт при х, тому знак нерівності міняємо на протилежний:
x<-36/7. Выделим целую часть и покажем решения неравенства на числовой прямой.
Найбільше ціле число з заштрихованого проміжку - це число -6.
5. Визначте правильне рішення нерівності: log2 (x-4) ≤3.
Уявімо число 3 у вигляді логарифма з основою 2.
log2 (x-4) ≤ log2 2 3, звідси log2 (x-4) ≤log2 8. Так як логарифмічна функція по підставі 2 є зростаючою на множині всіх позитивних чисел, то остання нерівність буде виконуватися за умови, що х-4≤8, але в той же час: х-4 > 0. З першої умови слід: х≤12, а з другого, що х> 4. Загальним буде значення х∈ (4; 12].
7. Вкажіть функцію, графік якої зображено на малюнку.
На малюнку ми бачимо параболу, яку можна задати рівнянням виду: y = a (x-m) 2 + n, де (m; n) - координати вершини параболи. На малюнку вершина параболи - точка (2; 1). Отже, m = 2; n = 1. А що з приводу значення коефіцієнта а. Дивимося на відповіді: всюди коефіцієнт перед дужкою дорівнює одиниці. Ну і прекрасно - менше турбот! Отримали формулу: y = (x-2) 2 +1.
11. Довжина прямокутної ділянки 120 м, а ширина становить 75% довжини. Зорано 35% цієї ділянки, тоді не зорано:
За умовою ширина становить 75% від 120 метрів - довжини ділянки. Це 3/4 від довжини, тобто 120: 4 · 3 = 90 метрів. Площа прямокутного ділянки дорівнює добутку довжини ділянки на його ширину, значить, становить 120 м · 90 м = 10800 м 2. Зорано 35%, відтак не зорано 100% -35% = 65%. Нам залишилося знайти 65% від 10800. Звертаємо відсотки в десяткову дріб: 65% = 0,65 і множимо цю дріб на 10800.
0,65 · 10800 = 7020. Відповідаємо на питання завдання: чи не зорано 7020 м 2.
12. Розв'яжіть рівняння:
До правій частині рівності застосуємо основне логарифмічна тотожність:
Ми отримали рівні ступеня за основою 2, отже, і показники цих ступенів дорівнюватимуть. Виходить квадратне рівняння: x 2 + x = 2 або x 2 + x-2 = 0. По теоремі Вієта підбираємо коріння: x1 = -2; x2 = 1.
14. Розв'яжіть рівняння: sin 2 x-cos 2 x = cos (x / 2).
За формулою косинуса подвійного кута: cos2α = cos 2 α-sin 2 α, тоді це рівність перетвориться до виду:
-cos2х = cos (x / 2) ⇒ -cos2х-cos (x / 2) = 0 ⇒ cos2х + cos (x / 2) = 0. Суму косинусів перетворимо в твір, використовуючи формулу:
17. Знайдіть суму ординат точок екстремуму функції f (x) = x 3 / (x 2 -3).
Ви, звичайно, знаєте, що екстремуми - це мінімуми і максимуми функції, можливі тільки в критичних точках. Класичне рішення цього завдання: 1) знайти похідну даної функції; 2) знайти критичні точки і відзначити їх на числовій прямій; 3) визначити знаки похідної на проміжках, визначених критичними точками; 4) з'ясувати, які з критичних точок є точками мінімуму і які точками максимуму; 5) знайти значення самої функції в цих точках мінімуму і максимуму - це і будуть ординати точок екстремуму; 6) скласти ці значення ординат. Але в цьому конкретному завданні все набагато простіше! Функція нам дана непарна, тобто для всіх можливих значень х виконується рівність: f (-x) = f (x). Графік непарної функції симетричний відносно початку координат. Що це означає, і чим це нам допоможе? Міркуємо: якщо ця функція має максимум в точці з абсцисою а. то в симетричній їй точці з абсцисою (-а) вона буде мати мінімум. Знову ж значення функції в цих точках а і -а також будуть протилежними числами. А чому дорівнює сума протилежних чисел? Правильно: нулю. Висновок: якщо вам потрібно знайти суму ординат точок екстремуму непарної функції, то відповідь: 0.
21. Знайдіть суму коренів рівняння: x -2 -16x -1 -80 = 0.
Зробимо заміну: x 1 = y. Отримаємо рівняння: y 2 -16y-80 = 0. Знаходимо корені: y1 = -4 і y2 = 20.
Тоді x 1 = -4 або x 1 = 20.
22. Вирішити систему нерівностей:
В одній системі координат побудуємо графіки функцій y = sinx, y = cosx і y = 1/6. Визначимо проміжок значень х, при яких графік синуса лежить вище, а графік косинуса нижче прямої y = 1/6.
24. Знайдіть площу паралелограма ABCD, якщо А (5; 4), В (0; 3), С (4; 7), D (9; 8).
Площа паралелограма знайдемо за формулою: S = absinA, де a = АD і b = AB - сторони паралелограма, А - кут між цими сторонами. Використовуємо вектори: знайдемо координати і модулі векторів, що виражають боку АD і AB паралелограма, косинус кута між цими векторами. Потім знайдемо синус цього кута, і в формулу площі паралелограма підставимо всі потрібні значення.
25. Електронний годинник показує час в годинах і хвилинах (від 00:00 до 23:59). Скільки разів за добу можна побачити на табло 4 цифри 2, 0, 1, 9 (в будь-якому порядку). Так як немає, наприклад 91 хвилини або 29 годин, то комбинаторика нам не допоможе. Просто будемо перераховувати всі можливі в реальності показання часу.
Друзі, повторюйте формули. Бажаю успіхів!