Учитель МОУ СЗШ №12
Використання інтегралів для знаходження об'ємів тіл обертання
Практична користь математики обумовлена тим, що без
конкретних математичних знань утруднено розуміння принципів устрою і використання сучасної техніки. Кожній людині в своєму житті доводиться виконувати досить складні розрахунки, користуватись загальновживаною технікою, знаходити в довідниках застосовувати потрібні формули, складати нескладні алгоритми для вирішення задач. У сучасному суспільстві все більше спеціальностей, що вимагають високого рівня освіти, пов'язане з безпосереднім застосуванням математики. Таким чином, для школяра математика стає професійним значущим предметом. Провідна роль належить математиці в формуванні алгоритмічного мислення, виховує вміння діяти за заданим алгоритмом і конструювати нові алгоритми.
Вивчаючи тему про застосування інтеграла для обчислення обсягів тіл обертання, я пропоную учням на факультативних заняттях розглянути тему: «Об'єми тіл обертання із застосуванням інтегралів». Нижче наводжу методичні рекомендації з розгляду даної теми:
1.Площадь плоскої фігури.
З курсу алгебри ми знаємо, що до поняття визначеного інтеграла привели завдання практичного характеру. Один з них, це обчислення площі плоскої фігури, обмеженої безперервної лінією y = f (x) (де f (x) 0) і прямими x = a і x = b, і віссю абсцис; таку фігуру називатимемо криволінійної трапецією.
Обчислимо площу криволінійної трапеції за формулою, якщо підстава трапеції лежить на осі абсцис або за формулою, якщо підстава трапеції лежить на осі ординат.
2.Об'ем тіла обертання.
Тілом обертання в найпростішому випадку називається таке тіло, яке площинами, перпендикулярними деякої прямої (осі обертання), перетинаються по колам з центрами на цій прямій. Знайдемо формулу для обчислення об'єму тіла обертання. Перетин цього тіла площиною, перпендикулярної до осі Оx, є коло, площа якого.
Для знаходження об'єму тіла обертання, утвореного обертанням криволінійної трапеції навколо осі Оx, обмеженою переривану лінією y = f (x), віссю Оx, прямими x = a і x = b обчислимо за формулою
Так як відрізок ВС лежить прямий y = R (R - радіус основи циліндра), то обсяг такого циліндра знайдемо про формулу:. Нехай а = 0, b = Н (Н - висота циліндра), тоді.
Відрізок АВ лежить на прямій y = kx + c, де і з = 0, так як пряма проходить через точку (0; 0). Таким чином пряма має вигляд.
Нехай а = 0, b = H (Н-висота конуса), тоді V
5.Об'ем усіченого конуса.
Усічений конус можна отримати шляхом обертання прямокутної трапецією АВСD (СD Ox) навколо осі Оx.
Відрізок АВ лежить на прямій y = kx + c, де. c = r.
Так як пряма проходить через точку А (0; r).
Таким чином пряма має вигляд.
Нехай а = 0, b = H (Н-висота усіченого конуса), тоді
Куля можна отримати шляхом обертання кола з центром (0; 0) навколо осі Оx. Півколо, розташована над віссю Оx, задається рівнянням
Тому об'єм кулі визначається за формулою
7.Об'ем кульового сегмента.
Шаровим сегментом називається частина кулі, відсікає від нього площиною.
Використовуючи формулу обсягу кулі знайдемо обсяг сегмента за формулою.
В цьому випадку a = R-H, b = R (Н - висота сегмента, R - радіус кулі). Звідси маємо, що
Аналогічно знайдемо V
Така постановка питання сприяє розвитку творчості і логічного мислення, дає можливість поповнити запас знань школярів, сприяє підвищенню якості освіти. Цей метод мною апробований в 11 класі. дав позитивний результат.