Сучасна величина відкладеної на t років ренти є дисконтованою величиною сучасної величини негайної ренти за прийнятою для неї процентній ставці:
де At
- сучасна величина відкладеної ренти;
A - сучасна величина негайної ренти;
Vt - дисконтний множник за t років.
У таких ренти платежі здійснюються на початку кожного періоду. Відмінність від звичайної ренти зводиться до числа періодів нарахування відсотків. Сума членів ренти пренумерандо більше ренти постнумерандо в (1 + i) раз:
де S '
- нарощена сума ренти пренумерандо;
S - нарощена сума ренти постнумерандо.
Для річний ренти пренумерандо з m - разовим нарахуванням відсотків розрахунок нарощеної суми здійснюється за формулою:
Розглянуті раніше ренти називають негайними. так як термін їх дії починається негайно після укладення договору. Термін дії відкладених рент запізнюється щодо цього моменту. Величина тимчасового інтервалу від справжнього моменту до початку ренти називається періодом відстрочки.
Відкладене рента являє собою негайну ренту, зрушену в часі на період відстрочки. Тому поточна вартість відкладеної ренти дорівнює поточної вартості негайної ренти, дисконтированной на інтервал часу, рівний періоду відстрочки.
Для Р -Термінова ренти маємо:
3.2. Змінні потоки платежів
У попередніх темах були розглянуті потоки платежів, в яких члени потоку були постійними величинами. На практиці зустрічаються потоки платежів, члени яких змінюються за своєю величиною протягом терміну ренти. Це може бути обумовлено низкою факторів. Наприклад, сума амортизаційних відрахувань залежить від кількості і вартості наявних основних фондів. При зміні їх кількості відповідно змінюються і їх вартість і величина амортизаційних відрахувань. Тобто ряд виробничих або комерційних факторів можуть впливати на зміну величини членів потоку платежів.
Потік послідовних платежів, члени якого не є постійними величинами, називається змінною рентою. Зміни величини послідовних платежів в ряді випадків може бути описано будь-яким законом. В інших випадках їх зміна відбувається без всяких видимих закономірностей і така послідовність платежів являє собою нерегулярний потік платежів.
Розгляд змінних дискретних потоків платежів почнемо зі змінною ренти з разовими змінами розміру члени ренти.
Припустимо, що термін ренти n років і він розбитий на До часових відрізків (t = 1, 2, ..., K). Тривалість часових відрізків становить n1, n2, ..., nk; n = n1 + n2 + ... + nk.
Член ренти Rt - величина постійна тільки в межах кожного часового відрізку, тобто Rt1. Rt2. ... Rtk
Відсотки нараховуються в кожному часовому відрізку за ставками i1. i2, ..., ik в кінці року. При дотриманні даних умов нарощена сума річної ренти буде дорівнює:
Коефіцієнти нарощування річної ренти SK; i
визначаються по раніше отриманій формулі:
Сучасна величина річної ренти:
Коефіцієнти приведення річної ренти an; i визначаються за формулою:
Для визначення нарощеної суми або сучасної величини в Р -Термінова ренті використовуються відповідні коефіцієнти нарощування
або приведення
.
Змінні ренти з постійним абсолютним і відносним зміною її членів
Ренти з постійним абсолютним зміною її членів. Є рента, члени якої вносяться протягом n років в кінці року таким чином, що кожен член більше попереднього на постійну величину d. тобто члени ренти змінюються згідно із законом зростаючої арифметичної прогресії. Одночасно на члени ренти нараховуються один раз в кінці року складні відсотки за ставкою i. Потрібно визначити нарощену суму цієї ренти.
Позначимо перший член ренти R. Тоді до кінця терміну ренти, тобто в кінці n-го року, її члени досягнутий величин:
Перший член -
R. (1 + i) n-1
Другий член -
(R + d) (1 + i) n-2
Третій член -
(R + 2d) (1 + i) n-3
Передостанній член - [R + (n-2) d]. (1 + i)
Останній член - R + (n-1). d
Склавши всі члени ренти, знайдемо нарощену суму до кінця її строку. Позначимо 1 + i = r. Тоді сума членів ренти буде дорівнює:
S = R · rn-1 + (R + d) · rn-2 + (R + 2d) · rn-3 + ... + [R + (n-2) d] · r + [R + 9n-1) d] .
Перетворимо отримане вираження:
S = R · (rn-1 + · rn-2 + rn-3 + ... + r + 1) + d [rn-2 + 2. rn-3 +. + (N-2) r + (n-1)].
У першій скобці правій частині отриманого виразу ми маємо суму членів геометричної прогресії, перший член якої R, а знаменник r = 1 + i.
Помножимо Q на r і знайдемо різницю:
Для рент пренумерандо, тобто коли платежі вносяться в початок кожного року, при збереженні умови, що кожен новий платіж збільшується в порівнянні з попереднім на постійну величину d. нарощена сума ренти визначається за формулою:
Наведена формула справедлива при використанні коефіцієнтів нарощування, розрахованих для рент постнумерандо.
При використанні коефіцієнтів нарощування, розрахованих для рент пренумерандо, нарощена сума визначається за формулою:
Для знаходження сучасної величини змінної ренти зі зростаючими на постійну величину d членами скористаємося виразом:
Ренти з постійним відносним зміною платежів. Є рента, члени якої вносяться протягом n років в кінці року таким чином, що кожен член більше попереднього в q разів, тобто члени ренти змінюються згідно із законом зростаючої геометричної прогресії. Одночасно на члени ренти нараховуються в кінці кожного року складні відсотки за ставкою i. Якщо позначити перший член ренти R. то до кінця n-го року її члени утворюють ряд:
Нарощена сума S являє собою суму членів цього ряду:
Наведена величина такої ренти дорівнює:
Для Р -Термінова ренти сучасна величина знаходиться за формулою: