На уроках алгебри в школі ми стикаємося з виразами різного виду. У міру вивчення нового матеріалу записи виразів стають все різноманітніше і складніше. Наприклад, познайомилися зі ступенями - в складі виразів з'явилися ступеня, вивчили дроби - з'явилися дробові вирази і т.д.
Для зручності опису матеріалу, виразами, що складається з схожих елементів, дали певні назви, щоб виділити їх з усієї розмаїтості виразів. У цій статті ми ознайомимося з ними, тобто, дамо огляд основних виразів, що вивчаються на уроках алгебри в школі.
Навігація по сторінці.
Одночлени і многочлени
Почнемо з виразів, що мають назву одночлени і многочлени. На момент написання цієї статті розмова про одночлени і многочлени починається на уроках алгебри в 7 класі. Там даються такі визначення.
Одночленной називаються числа, змінні, їх ступеня з натуральним показником, а також будь-які твори, складені з них.
Багаточлени - це сума одночленів.
Наприклад, число 5. змінна x. ступінь z 7. твори 5 · x і 7 · x · 2 · 7 · z 7 - це все одночлени. Якщо ж взяти суму одночленним, наприклад, 5 + x або z 7 + 7 + 7 · x · 2 · 7 · z 7. то отримаємо многочлен.
До одночленной і многочленів відноситься ряд супутніх понять. Наприклад, для одночленним і многочленів характерно поняття їх ступеня, також даються визначення одночленним і многочленів стандартного виду. При описі одночленним також користуються поняттям коефіцієнта, а при описі многочленів використовують такі терміни, як члени многочлена, які, зокрема, бувають подібними, вільний член многочлена і старший коефіцієнт. Відповідні визначення разом з прикладами Ви знайдете в статті одночлен і його стандартний вигляд, ступінь і коефіцієнт одночлена. а також в статті многочлени - основні визначення та приклади.
Робота з одночленной і многочленами часто має на увазі виконання дій з ними. Так на безлічі одночленним визначено множення одночленним і зведення одночлена до степеня. в тому сенсі, що в результаті їх виконання виходить одночлен.
На безлічі многочленів визначено додавання, віднімання, множення, піднесення до степеня. Як визначаються ці дії, і за якими правилами вони виконуються, ми поговоримо в статті дії з многочленами.
Якщо говорити про многочлени з єдиною змінною, то при роботі з ними значну практичну значимість має розподіл многочлена на многочлен. а також часто такі многочлени доводиться представляти у вигляді твору, це дія має назву розкладання многочлена на множники.
Раціональні (алгебраїчні) дроби
Раціональна (алгебраїчна) дріб це дріб, чисельником і знаменником якої є многочлени, зокрема, одночлени і числа.
Наведемо кілька прикладів раціональних дробів: і. До слова, будь-яка звичайна дріб є раціональною (алгебраїчної) дробом.
На безлічі алгебраїчних дробів вводяться додавання, віднімання, множення, ділення і піднесення до степеня. Як це робиться пояснено в статті дії з алгебраїчними дробами.
Часто доводиться виконувати і перетворення алгебраїчних дробів. найбільш поширеними з них є скорочення і приведення до нового знаменника.
раціональні вирази
У школі до вивчення ірраціональних чисел робота ведеться виключно з раціональними виразами. Дамо визначення раціонального виразу.
Числові і буквені вирази, в яких використовуються раціональні числа і букви, а також операції додавання, віднімання, множення, ділення (ділення може бути позначено дробової рисою) і спорудження на всю ступінь, називаються раціональними виразами.
Важливе пояснення: в раціональних виразах не можуть бути присутніми знаки і функції, які можуть внести ірраціональність. Іншими словами, в раціональних виразах не повинно бути знаків радикала (коренів), ступенів з дробовими і ірраціональними показниками, ступенів з змінними в показнику, логарифмів, тригонометричних функцій і т.п.
Тепер можна навести приклади раціональних виразів. Відштовхуючись від цього вище визначення, можна стверджувати, що числові вирази і є раціональними виразами. Раціональним є і буквене вираз, а також вираження зі змінними виду a · x 2 + b · x + c і.
Раціональні вирази поділяються на цілі раціональні вирази і дробові раціональні вирази.
Цілі раціональні вирази
Цілими раціональними виразами називаються раціональні вирази, які не містять поділу на вираження зі змінними і виразів зі змінними в негативній ступеня.
Згідно з цим визначенням, цілими раціональними виразами є, наприклад, буквене вираз a + 1. вираз з трьома змінними виду x 2 · y 3 -z + 3/2 і дріб.
А вирази x # 58; (y-1) і не є цілими раціональними, так як містять розподіл на вираз зі змінними.
Дробові раціональні вирази
Якщо раціональне вираз містить розподіл на вираз зі змінними і / або вираз зі змінними в негативній ступеня, то воно називається дробовим раціональним виразом.
Дане визначення дозволяє привести приклади дрібних раціональних виразів. Наприклад, вирази 1 # 58; x. і є дробовими раціональними.
А ось раціональні вирази (2 · x-x 2) # 58; 4 і не містять поділу на вираження зі змінними і негативних ступенів виразів зі змінними, тому вони не є дробовими раціональними виразами.
Вирази зі ступенями
Назва даного виду виразів говорить сама за себе. Вирази зі ступенями (їх ще називають статечні вираження) з'являються під час вивчення ступенів.
Вирази зі ступенями (статечні вираження) - це вирази, що містять ступеня в своєму записі.
Наведемо кілька прикладів виразів зі ступенями. Вони можуть не містити змінних, наприклад, 2 3.. Також мають місце статечні вираження зі змінними: і т.п.
Не завадить ознайомитися з тим, як виконується перетворення виразів зі ступенями.
Ірраціональні вирази, вирази з корінням
Знайомство з поняттям кореня призводить до виникнення виразів, в записах яких присутні знаки коренів (радикали). Такі вирази зазвичай називають виразами з корінням або виразами, що містять операцію вилучення кореня. Їх же називають ірраціональними виразами.
Ірраціональні вирази (вирази з корінням) - це вираження, які містять в запису знаки коренів.
На підставі даного визначення, a + 1 / (a 1/2 +2). і - це все ірраціональні вирази, так як в кожному з них присутній хоча б один знак кореня.
Так як коріння тісно пов'язані зі ступенями, то вони дуже часто присутні у висловах спільно. Наприклад, і т.п.
У статті перетворення ірраціональних виразів (виразів з коренями) ми поговоримо про основні прийоми роботи з ірраціональними виразами.
тригонометричні вирази
Тригонометричними виразами зазвичай називають вирази, що містять sin, cos, tg і ctg. а також зворотні тригонометричні функції arcsin, arccos, arctg і arcctg.
Наведемо приклади тригонометричних виразів:,.
логарифмічні вирази
Логарифмічні вирази виникають після знайомства з логарифмами.
Вирази, що містять логарифми називають логарифмічними виразами.
Прикладами логарифмічних виразів є log3 9 + lne. log2 (4 · a · b). .
Дуже часто у виразах зустрічаються одночасно і ступеня і логарифми, що й зрозуміло, так як за визначенням логарифм є показник ступеня. В результаті природно виглядають вираження подібного виду:.
В продовження теми звертайтеся до матеріалу перетворення логарифмічних виразів.
У цьому пункті ми розглянемо вираження особливого виду - дроби.
Дріб розширює поняття звичайного дробу. Дробу також мають чисельник і знаменник, що знаходяться відповідно зверху і знизу горизонтальної дробової риси (зліва і справа похилій дробової риси). Тільки на відміну від звичайних дробів, в чисельнику і знаменнику можуть бути не тільки натуральні числа, а й будь-які інші числа, а також будь-які вирази.
Отже, дамо визначення дробу.
Дріб - це вираз, що складається з розділених дробової рисою чисельника і знаменника, які представляють собою деякі числові або літерні вирази або числа.
Дане визначення дозволяє привести приклади дробів.
Почнемо з прикладів дробів, числителями і знаменниками яких є числа: 1/4. , (-15) / (- 2). У чисельнику і знаменнику дробу можуть бути і вирази, як числові, так і літерні. Ось приклади таких дробів: (a + 1) / 3. (A + b + c) / (a 2 + b 2).
А ось вирази 2 / 5-3 / 7. дробом не є, хоча і містять дроби в своїх записах.
Вирази загального вигляду
У старших класах, особливо в задачах підвищеної складності та завдання групи С в ЄДІ з математики, будуть потрапляти вираження складного виду, що містять у своєму записі одночасно і коріння, і ступеня, і логарифми, і тригонометричні функції, і т.п. Наприклад, чи. Вони по виду підходять під кілька типів перерахованих вище виразів. Але їх зазвичай не відносять до жодного з них. Їх вважають виразами загального вигляду. а при описі говорять просто вираз, не додаючи додаткових уточнень.
Завершуючи статтю, хочеться сказати, що якщо даний вираз громіздке, і якщо Ви не зовсім впевнені, до якого виду воно відноситься, то краще назвати його просто вираженням, ніж назвати його таким виразом, яким воно не є.