Визначення докладно розібрано, залишилося з'ясувати, що відбувається, коли вектори колінеарні. Якщо вектори колінеарні, то їх можна розташувати на одній прямій і наш паралелограм теж «складається» в одну пряму. Площа такого, як кажуть математики, виродженого паралелограма дорівнює нулю. Це ж випливає і з формули - синус нуля або 180-ти градусів дорівнює нулю, а значить, і площа нульова
Таким чином, якщо, то. Строго кажучи, саме векторний добуток одно нульового вектору, але на практиці цим часто нехтують і пишуть, що воно просто дорівнює нулю.
Окремий випадок - векторний добуток вектора на самого себе:
За допомогою векторного твори можна перевіряти коллинеарность тривимірних векторів, і це завдання серед інших ми теж розберемо.
Для вирішення практичних прикладів може знадобитися тригонометрическая таблиця, щоб знаходити по ній значення синусів.
Ну що ж, розпалюємо вогонь:
а) Знайти довжину векторного добутку векторів, якщо
б) Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах, якщо
Рішення: Ні, це не помилка, вихідні дані в пунктах умови я навмисно зробив однаковими. Тому що оформлення рішень буде відрізнятися!
а) За умовою потрібно знайти довжину вектора (векторного твори). За відповідною формулою:
Коль скоро питалося про довжину, то у відповіді вказуємо розмірність - одиниці.
б) За умовою потрібно знайти площу паралелограма, побудованого на векторах. Площа даного паралелограма чисельно дорівнює довжині векторного твори:
Зверніть увагу, що у відповіді про векторному добутку мови не йде взагалі, нас запитували про площу фігури, відповідно, розмірність - квадратні одиниці.
Завжди дивимося, ЩО потрібно знайти за умовою, і, виходячи з цього, формуємо чітку відповідь. Може здатися буквоїдством, але буквоїдів серед викладачів вистачає, і завдання з хорошими шансами повернеться на доопрацювання. Хоча тут не особливо натягнута зачіпка, якщо відповідь неточний, складається враження, що людина погано розібрався в матеріалі і не вник в суть завдання. Про це бажано пам'ятати, вирішуючи будь-яке завдання з вищої математики, так і з інших предметів теж.
Куди поділася велика буква «ен»? В принципі, її можна було додатково приліпити в рішення, але в цілях скоротити запис, я цього не зробив. Сподіваюся, всім зрозуміло, що і - це позначення одного і того ж.
Популярний приклад для самостійного рішення:
Знайти площу трикутника, побудованого на векторах, якщо
На практиці завдання дійсно дуже поширена, трикутниками взагалі можуть замучити.
Для вирішення інших завдань нам знадобляться: