Вид листа MS Excel для n = 10:
Методи прогнозу і корекції
Точність методу Ейлера можна підвищити, якщо скористатися для апроксимації інтеграла більш точною формулою інтегрування - формулою трапецій:
Дана формула виявляється неявній щодо yi + 1. це значення є і в лівій і в правій частині виразу. Для розрахунку yi + 1 використовуємо двох кроковий метод прогнозу і корекції. Нехай дано ДУ для якого відомо значення функції в двох сусідніх вузлах сітки:
Спочатку будується прогноз значення в (i + 1) - му вузлі інтегрування, наприклад, за формулою методу Ейлера за попереднім вузлу.
Далі це значення коригується по більш точної формулою, в даному випадку - за формулою трапецій:
Для того щоб почати розрахунок методом прогнозу і корекції, необхідно знати значення функції в двох перших вузлах сітки - x0 і x1 -. Зазвичай значення у вузлі x1 визначається будь-яким однокроковим методом, наприклад методом Гюна.
На кожному кроці побудови рішення методом прогнозу і корекції потрібно обчислити лише одне значення функції, а одне береться з попереднього вузла сітки, тому цей метод досить економічний за витратами часу обчислень. Похибка описуваного методу пропорційна кубу кроку інтегрування.
Алгоритм методу прогнозу і корекції
Задаємо значення n, наприклад, 10.