12. УЗАГАЛЬНЕНІ КООРДИНАТИ, УЗАГАЛЬНЕНІ СИЛИ
Для введення поняття узагальнених координат розглянемо плоский подвійний математичний маятник, що складається з двох невагомих стрижнів довжиною l1 і l2 з точковими масами m1 і m2 на кінцях (рис. 12.1). Система володіє двома ступенями свободи.
Дійсно стрижень ОМ1 може обертатися навколо нерухомої горизонтальної осі О. перпендикулярній площині руху хОу. а стрижень M1M2 - навколо горизонтальній осі, що проходить через точку M1. в тій же площині. Тому рівняння зв'язків мають вигляд: z1 = 0, z2 = 0,
Тому, так як n = 2, а число рівнянь зв'язків k = 4, то S = 3n -k = 2, тобто лише дві з шести декартових координат є незалежними і повинні бути задані. Решта ж координати можна виразити з рівнянь зв'язків через незалежні координати.
На практиці координати х1. у1z1, х2. у2. z2 висловлюють через будь-які незалежні змінні іншої природи, в нашому випадку ними є кути і відхилення стрижнів від вертикалі:
Тут кути і грають роль незалежних параметрів, однозначно визначають положення розглянутої механічної системи.
Нехай тепер є система n матеріальних точок, на яку накладено k голономних зв'язків, заданих рівняннями (10.2). Оскільки число ступенів свободи дорівнює S, то введемо незалежні змінні q1. q2. qs. Тоді для даної системи співвідношення (12.1) приймуть вид:
Відзначимо, що незалежні координати qm (m = 1, 2, ..., s) - це не обов'язково набір S змінних з числа декартових координат xn, уn, zn. Ними можуть бути змінні іншої природи, так в наведеному вище прикладі замість декартових координат введені кутові координати.
S незалежних параметровq1. q2. qs однозначно визначають положення точок матеріальної системи, сумісний зі зв'язками, називаються узагальненими координатами.
Похідні від узагальнених координат по временіназиваются узагальненими швидкостями (= dqm / dt).
Розмірність узагальненої швидкості залежить від розмірності узагальненої координати: якщо qm - лінійна величина, то - лінійна швидкість; якщо qm - кут, то - кутова швидкість; якщо qm - площа, то - секторальна швидкість. Отже, поняття узагальненої швидкості охоплює всі відомі нам поняття про швидкостях.
Для введення поняття узагальнених сил розглянемо голономних систему, що складається з n матеріальних точок, на які діють відповідно сили,. . Нехай система має S ступенів свободи, і її положення визначається узагальненими координатами q1. q2. qs. Повідомимо системі в фіксований момент часу таке віртуальне переміщення, при якому узагальнена координата qm набуває прирощення dqm> 0, а інші узагальнені координати не змінюються. Тоді кожен радіус-вектор отримає віртуальне переміщення () m. яке обчислюється як приватний диференціал:
Згідно (10.9) віртуальна робота всіх активних сил при варіації dqm узагальненої координати qm запишеться у вигляді:
Величину називають узагальненою силою. відповідної узагальненої коордінатеqm. Якщо всім S узагальнених координатах в даний момент часу повідомити позитивні збільшення (варіації) dq1, dq2,. dqs. то повна віртуальна робота всіх активних сил в узагальнених координатах
З виразу (12.5) випливає, що узагальнені сили представляють собою коефіцієнти при варіаціях узагальнених координат у виразі для віртуальної роботи. Проектуючи (11.4) на декартові осі, отримаємо
Якщо всі діючі сили потенційні, то їх проекції Fnx, Fny, Fnz на декартові осі можуть бути виражені через потенційну енергію П системи відповідно до формул:
Підставивши (12.7) в (12.6), отримаємо:
Для механічної системи, що знаходиться в потенційному силовому полі, узагальнена сілаопределяется взятої з протилежним знаком похідної від потенційної енергії по відповідній узагальненій координаті:
Відзначимо, що розмірність узагальненої сили дорівнює розмірності роботи, поділеній на розмірність узагальненої координати.
Приклад 12.1. Визначити узагальнену силу математичного маятника вагою. якщо довжина нитки дорівнює l. За узагальнену координату взяти кут відхилення j маятника від вертикалі (рис. 12.2).
Мал. 12.2 Рис. 12.3
Рішення. Математичний маятник є системою з одним ступенем свободи (S = 1), так як для визначення його положення досить задати один параметр.
Розглянемо маятник в довільному положенні. За узагальнену координату q приймемо кут j. Активною силою, що діє на маятник, є сила тяжіння.
Спосіб 1. Оскільки сила потенціальна, то для визначення узагальненої сили Q скористаємося формулою (12.8). Для обчислення потенційної енергії П маятника направимо вісь х по вертикалі вниз, взявши за початок відліку потенційної енергії точку Про підвісу маятника, тобто П (х = 0) = 0. Потенційна енергія маятника дорівнює роботі сили тяжіння на переміщенні матеріальної точки з даного положення М в нульове, тобто П = Р × х1 = Р × l × cosj. Згідно (12.8)
Спосіб 2. Найбільш поширений-вим методом обчислення узагальненої сили є її визначення за формулою (11.4) Qm = dAm / dqm. Повідомимо маятнику в даний момент часу віртуальне переміщення dj> 0, тобто в сторону зростання кута j (рис. 12.3), і обчислимо елементарну роботу сили тяжіння на цьому переміщенні:
де h = l × sinj, - плече сили відносно центра обертання точки O. Отже,