6.2. УМОВА спільної сумісної ЛІНІЙНОЇ СИСТЕМИ
Теорема 6.2 (теорема Кронекера - Капеллі). Для того щоб сістемаm лінійних алгебраїчних рівнянь щодо n невідомих (6.1) була сумісна, необхідно і достатньо, щоб ранг основної матріциАі ранг розширеної матриці системи (6.1) були рівні, т. Е. Rang A rang r.
Для спільних систем лінійних рівнянь вірні такі теореми.
Теорема 6.3. Якщо ранг матриці спільної системи дорівнює числу змінних, т. Е. R = n. то система (6.1) має єдине рішення.
Теорема 6.4.Еслі ранг матриці спільної системи менше числа змінних, т. Е.r Нехай. Виділимо в матриці А будь-якої базисний мінор М порядку r. Припустимо, що він складається з перших r рядків і перших r стовпців матриці А (в іншому випадку переставимо місцями рядки або стовпці матриці А): Видаливши з системи (6.1) всі рівняння, крім базисних, отримаємо систему яка еквівалентна системі (6.1). Якщо r = n. то система (6.5) має єдине рішення, яке є рішенням системи (6.1) і знаходиться за допомогою одного з розглянутих методів. У разі якщо r де - мінор r-го порядку, який виходить з шляхом заміни в ньому j-го стовпця стовпцем вільних членів (стовпчиком); - i -й стовпець матриці А. Припустивши що (- довільні постійні), отримаємо Формули (6.6) містять будь-яке рішення системи (6.1). В якості базисних невідомих виберемо і. Перепишемо систему у вигляді За формулами Крамера