Встановити, сумісна чи система лінійних рівнянь, за допомогою теореми Кронекера-Капеллі часто можна швидше, ніж за допомогою методу Гаусса. коли потрібно послідовно виключати невідомі. Заснована ця теорема на використанні рангу матриці.
Теорема Кронекера-Капеллі про спільності сістеми.Сістема лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці цієї системи дорівнює рангу її розширеної матриці, тобто щоб.
Тут матриця A (матриця системи) - це матриця, складена з коефіцієнтів при невідомих:
У свою чергу матриця В (розширена матриця) - це матриця, отримана приєднанням до матриці системи стовпчика з вільних членів:
Ранги цих матриць пов'язані нерівністю, при цьому ранг матриці В може бути лише на одну одиницю більше рангу матриці A.
Слідство з теореми Кронекера-Капеллі про кількість рішень. Нехай для системи m лінійних рівнянь з n невідомими виконана умова спільності, тобто ранг матриці з коефіцієнтів системи дорівнює рангу її розширеної матриці. Тоді вірно наступне.
- Якщо ранг матриці дорівнює числу невідомих (), то система має єдине рішення.
- Якщо ранг матриці системи менше числа невідомих (), то система має нескінченно багато рішень, а саме: деяким n - r невідомих можна надавати довільні значення, тоді залишилися r невідомих визначаться вже єдиним чином.
Якщо ранг матриці системи лінійних рівнянь дорівнює числу рівнянь, тобто, то система сумісна при будь-яких вільних членах. В цьому випадку ранг розширеної матриці також дорівнює m. так як ранг матриці не може бути більшою за кількість її рядків.
В ході доведення теореми Кронекера-Капеллі були отримані явні формули для розв'язків системи (в разі її спільності). Якщо вже відомо, що система сумісна, то, щоб знайти її рішення, необхідно:
1) відшукати в матриці системи A рангу відмінний від нуля мінор порядку, рівного рангу матриці системи, тобто рангу r;
2) відкинути ті рівняння, які відповідають рядкам матриці A. не входять в мінор;
3) члени з коефіцієнтами, що не входять в, перенести в праву частину, а потім, надаючи невідомим, що знаходяться в правій частині, довільні значення, визначити за формулами Крамера залишилися r невідомих із системи r рівнянь з відмінним від нуля визначником.
Приклад 1. Дотримуючись теоремі Кронекера-Капеллі, встановити, сумісна чи система рівнянь
Якщо система сумісна, то вирішити її.
Рішення. Обчислюємо ранг матриці цієї системи і ранг розширеної матриці. В обох випадках він дорівнює 3. Отже, система лінійних рівнянь сумісна. Так як ранг матриці системи менше числа невідомих, то система має нескінченно багато рішень: одне невідоме може бути взято довільно. мінор
відмінний від нуля, тому останнє рівняння відкидаємо і невідомому надаємо довільне значення.
Решта невідомі визначаються з системи
Вирішуючи останню систему за формулами Крамера або іншим способом, знаходимо
Приєднуючи сюди, отримуємо всі рішення даної системи лінійних рівнянь.
Приклад 2. Дотримуючись теоремі Кронекера-Капеллі, встановити, сумісна чи система рівнянь
Якщо система сумісна, то вирішити її.
Рішення. Обчислюємо ранг матриці цієї системи:
Отже, ранг системи дорівнює 3. Визначимо ранг розширеної матриці:
Це означає, що ранг розширеної матриці також дорівнює 3. Отже, система сумісна, а так як число невідомих дорівнює рангу матриці системи, то вона має єдине рішення. Для вирішення можемо використовувати перші три рівняння:
Вирішуючи останню систему за формулами Крамера, знаходимо