Траєкторією матеріальної частинки називається лінія, яку частка описує в процесі руху.
Диференціальне рівняння траєкторії має вигляд:
Вирішивши його, знайдемо параметричне рівняння траєкторії даної частинки з матеріальної координатою # 958 ;:
Лінією струму називається така лінія, дотична до якої в кожній точці збігається з напрямком швидкості суцільного середовища в цій точці в даний момент часу (Ріс.1.3.1).
З визначення випливає, що лінія струму є векторна лінія поля швидкостей суцільного середовища.
Лінія струму розглядається для фіксованого моменту часу, траєкторія описує переміщення частинки в просторі з плином часу.
Отримаємо рівняння лінії струму в параметричної формі з параметром.
За визначенням в будь-який фіксований момент часу вектор дотичної до лінії струму коллінеарен вектору швидкості. Тому
- диференціальне рівняння лінії струму.
Поверхнею (трубкою) струму називається поверхню, що складається з ліній струму, проведених через кожну точку деякого контуру, який не є лінією струму.
Якщо швидкість суцільного середовища або в певній точці, то ця точка називається особливою точкою.
Теорема. Через кожну неособо точку проходить єдина лінія струму.
Дана теорема випливає з теореми існування і єдиності рішення задачі Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь.
Приклади особливих точок.
1. Коло на площині обтекается рідиною, в лобовій точці і лінія струму роздвоюється в цій точці.
2. Джерело або стік. З точки рівномірно на всі боки витікає рідина (джерело), в цій точці. ліній струму нескінченно багато.
Рух абсолютно твердого тіла називається поступальним. якщо всі крапки тіла переміщаються з однаковою швидкістю.
Приклади траєкторій і ліній струму.
1. Довільний поступальний рух абсолютно твердого тіла.
Траєкторії - будь-які лінії. Знайдемо рівняння ліній струму.
тобто лінії струму - прямі лінії.
2. Прямолінійний поступальний рух абсолютно твердого тіла.
Траєкторії - прямі лінії і збігаються з лініями струму. Зауважимо, що модуль швидкості може змінюватися, але її напрямок залишається постійним. Цього було достатньо, щоб траєкторії і лінії струму збігалися.
3. Обертальний рух абсолютно твердого тіла навколо осі.
Траєкторії і лінії струму є колами з центром на осі і співпадають.
4. Довільне рух абсолютно твердого тіла.
Траєкторії - будь-які лінії, лінії струму - гвинтові лінії.
1.3.2. Сталі і несталі
руху суцільного середовища
Рух називається сталим (стаціонарним). якщо при ейлеровом описі параметри руху не залежать від часу.
Зауважимо, що в стаціонарному русі прискорення може бути відмінно від нуля. Далі, з визначення випливає, що рух може бути стаціонарним або нестаціонарним в залежності від вибору системи координат спостерігача.
Моделювання стаціонарного руху може виявитися легше, так як параметри будуть залежати від трьох аргументів замість чотирьох. Але іноді рішення стаціонарної задачі буває складніше, ніж нестаціонарної.
Теорема. Якщо рух стаціонарне, то лінії струму і траєкторії збігаються.
◄ Для стаціонарного руху і. Видно, що відмінність лише в позначенні параметра інтегрування, отже, рішення цих рівнянь, тобто лінії струму і траєкторії, збігаються. ►
Зауваження. Нехай рух нестаціонарне і. тобто модуль швидкості залежить від часу, а напрямок немає. Лінія струму пов'язана з напрямком швидкості, отже, вона з часом змінюватися не буде і лінії струму і траєкторії співпадуть.