Товсті хвости і емпіричні розподілу
Фінансові ринки мають відомим властивістю - товсті хвости в розподілі збільшень активу. Зазвичай, для демонстрації ефекту порівнюють два графіка денної прибутковості - для історичного розподілу цін і нормального. На малюнку нижче чітко помітні викиди в розподілі прибутковості індексу далеко від центру.
Тобто, матожидание Ln (S (T)) -Ln (S (0)) одно (4). А у нас, нагадаю, емпіричне розподіл вибрано з ряду, в якому початкова і кінцева ціни збігаються, і, як наслідок, матожидание Ln (S (T)) -Ln (S (0)) дорівнює нулю. Таким чином, в нашому досвіді з точки зору моделі БШ актив рухається з позитивним трендом μ, рівним σ * σ / 2 (T-t). Тренд вплинув на вартість опціонів колл, причому приріст вартості опціонів далеких страйків через тренда виявився не менш сильним (а по факту навіть більшим), ніж для ближніх. Спотворення цін опціонів призвело до виникнення посмішки.
Зауважу, що сам розрахунок ціни опціонів і їх волатильності був некоректний. Якщо існує тренд, відмінний від безризикової ставки (яка для ф'ючерсів дорівнює нулю), то інвестор не нейтральний до ризику, адже для ризик-нейтрального інвестора всі активи приносять один дохід, рівний безризиковою ставкою. Якщо інвестор не ризик-нейтральний, то вважати вартість опціону методом усереднення модельних термінальних цін не можна, тому що такий інвестор оцінює цінність прибутку і збитку по-різному. Внесемо корекцію, додамо тренд -σ * σ / 2 (T-t) до емпіричного і нормальному розподілів і намалюємо відповідні посмішки