Загальні уявлення про нормальний розподіл, суміші двох нормальних розподілів і Т-розподілу Стьюдента.
1) Розглянемо нормальний розподіл - одне з найпопулярніших розподілів, за допомогою якого описують ситуацію на фінансових ринках інвестори. Нормальний розподіл, також зване розподілом Гаусса, - розподіл ймовірностей, яке відіграє найважливішу роль в багатьох галузях знань, особливо у фізиці. Фізична величина підпорядковується нормальному розподілу, коли вона схильна до впливу величезного числа випадкових перешкод. Ясно, що така ситуація вкрай поширена, тому можна сказати, що з усіх розподілів в природі найчастіше зустрічається саме нормальний розподіл - звідси і відбулася одна з його назв.
Нормальний розподіл залежить від двох параметрів - зміщення і масштабу, тобто є з математичної точки зору не одним розподілом, а цілим їх сімейством. Значення параметрів відповідають значенням середнього (математичного очікування) і розкиду (стандартного відхилення). Стандартним нормальним розподілом називається нормальний розподіл з математичним очікуванням 0 і стандартним відхиленням 1.
Щільність випадкової величини, розподіленої за нормальним законом має вигляд:
де --- середнє значення випадкової величини, --- середньоквадратичне відхилення випадкової величини від математичного очікування.
Функція розподілу виявляється у елементарних функціях і записується у вигляді:
2) Розглянемо суміш двох випадкових величин з вагами і, розподілених за нормальним законом.
Нехай,,
--- суміш випадкових величин і.
Щільність випадкової величини записується у вигляді:
через і виражається наступним чином:
,
Покажемо, що випадкова величина вже не розподілена нормально. З гостровершинності нормального розподілу випливає, що якщо випадкова величина має нормальний розподіл, то виконується рівність. Для того, щоб показати, що розподілена не по нормальному закону досить показати, що. Перевіримо це нерівність.
З рівності гостровершинності нормального розподілу
випливає наступне співвідношення для гостровершинності
Далі ділимо і чисельник, і знаменник на $ (Ex _ ^) ^ $ і замінюємо на. Тоді маємо функцію від
Іс користуючись методи диференціального обчислення можна показати, що мінімум цієї функції дорівнює 3, коли $ z = 1 $ для будь-яких
Таким чином видно, що відношення тоді і тільки тоді, коли, тобто коли розподілу збігаються.
У разі коли маємо суміш двох різних розподілів, для якої. Звідси можна зробити висновок, що суміш двох нормальних неоднакових розподілів вже не є нормально розподіленою випадковою величиною. При наближенні до 1 або 0 розподіл прагне до нормального.
3) Розглянемо T-розподіл Стьюдента.
T-розподіл Стьюдента - безперервне розподіл з одним параметром --- ступінь свободи. Параметр --- параметр тяжкості хвоста. Нехай --- незалежні стандартні нормальні величини, такі що. Тог да розподіл випадкової величини, де називається розподілом Стьюдента з ступенями свободи.
Щільність Т-розподілу Стьюдента має вигляд:
де --- Гамма функція Ейлера.
висновок
Наведено 3 різних моделі, використовуючи які можна моделювати події відбуваються зокрема на фінансових ринках.
1) У випадку з нормальним розподілом ми маємо розподіл з так званими "легким хвостом", тобто значеннями випадкової величини відхиляються від середнього значення далі, ніж можна знехтувати, тому що відбуваються такі події з імовірністю.
2) У випадку зі сумішшю 2 нормальних розподілів маємо розподіл з так званими "важкими хвостами". Події, що відхиляються за трапляються на кілька порядків порядок частіше, ніж при нормальному розподілі. Варто зауважити, що коли один з параметрів ваги суміші прагне до 1, то суміш прагне до нормального розподілу.
3) Т-розподілом Стьюдента так само є розподілом з "важким хвостом". Події, що відхиляються за трапляються на кілька порядків порядок частіше, ніж при нормальному розподілі. У цьому розподілі параметр відповідає за тяжкість хвоста. При розподіл прагне до розподілу Коші, яке як відомо має найважчий хвіст, при розподіл прагне до нормального.
Яку модель використовувати --- вирішувати тільки тому хто працює на фінансових ринках. Найголовніше мистецтво для інвестора - мистецтво вибору потрібної моделі, яка найкраще працює для конкретного завдання. У довгостроковій і середньостроковій перспективі моделі з "важкими хвостами" дуже добре працюють, зокрема на фінансових ринках. В умовах великої волатильності на ринках, подіями, які в короткостроковій перспективі малоймовірні, не можна знехтувати в середньостроковій і довгостроковій перспективі.