ТОЕ, ТЕЦ, електротехніка - всі рішення у нас! Недорого, швидко, якісно, гарантія!
- Головна
- Замовити рішення
- приклад рішення
- список лекцій
- завантажити
- FAQ
- гарантії
- Контакти
Лекції по ТОЕ / №15 Основні відомості про комплексні числа.
Комплексним числом називається вираз виду:
де - c позначення комплексного числа; a і b - відповідно дійсна і уявна частини комплексного числа; j = √ (-1) - уявна одиниця.
Величини a і b часто позначають у такий спосіб: a = Re (c). b = Im (c). Символи Re і Im - є початкові букви англійських слів Real - дійсний і Imaginary - уявний.
Геометрично комплексне число зображається вектором на комплексній площині (рис. 2.8). Горизонтальна і вертикальна осі, відмічені відповідно знаками +1 і + j, називаються дійсною (або речовій) і уявної. Дійсна і уявна складові комплексного числа є проекції вектора на ці осі.
Два комплексних числа c і c` називаються сполученими, якщо вони мають однакові модулі і рівні за величиною, але різні за знаком аргументи (рис. 2.10):
Зображують їх вектори симетричні щодо дійсної осі.
Дії над комплексними числами.
Додавання і віднімання проводиться над числами, записаними в алгебраїчній формі:
складаються окремо речові і уявні частини доданків:
Операції додавання комплексних чисел відповідає складання зображують їх векторів.
Сума пов'язаних комплексних чисел дорівнює подвоєному значенню дійсної частини:
Множення і ділення комплексних чисел зручніше за все робити в показовою формі. Модулі при цьому перемножуються або діляться, а аргументи складаються або віднімаються:
Що відбувається з векторами при перемножуванні комплексних чисел?
На рис. 2.11 ми бачимо, що при множенні довжина вектора зросла в с2 раз, а аргумент збільшився на # 945; 2 Розглядаючи комплексне число як вектор, ми приходимо до наступного висновку.
При множенні вектора на комплексне число ае j # 945 ;. вектор розтягується в а раз і повертається на кут # 945 ;.
Твір пов'язаних комплексних чисел дорівнює квадрату модуля комплексного числа:
Іноді доводиться виробляти множення і ділення комплексних чисел в алгебраїчній формі. Перемноження виконується за правилами множення многочленів з урахуванням того, що j 2 = -1
При розподілі, щоб отримати результат, необхідно позбутися від уявної одиниці в знаменнику. Цього можна досягти множенням чисельника і знаменника на зв'язаний знаменник:
Бажаємо вдалого вивчення матеріалу та успішного складання!