Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з невідомими:
Випишемо основну матрицю цієї системи і розширену матрицю:
СЛАР сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу її розширеної матриці:
Причому система має єдине рішення, якщо ранг дорівнює числу невідомих і безліч рішень, якщо ранг менше числа невідомих.
Рангом матриці називається максимальна кількість лінійно незалежних рядків цієї системи.
Ранг матриці є найвищий з порядків мінорів цієї матриці, відмінних від нуля.
Правило обчислення рангу матриці за допомогою миноров
При знаходженні рангу матриці необхідно переходити від мінорів менших порядків до минорам високих порядків. При цьому якщо знайдений мінор -го порядку, визначник якого відмінний від нуля, то потрібно обчислити лише мінори -го порядку оздоблюють цей мінор -го порядку. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює.
Приклади розв'язання задач
Дослідити систему на спільність:
Випишемо основну і розширену матриці заданої системи
Обчислимо ранги цих матриць за допомогою миноров. Виберемо ненульовий мінор другого порядку матриці:
Розглянь мінори третього порядку, оздоблюють даний мінор і обчислимо їх визначники:
Таким чином, ранг основної матриці. Для розширеної матриці існує ще один окаймляющий мінор
Його визначник не дорівнює нулю, таким чином, ранг розширеної матриці. По теоремі Кронекера-Капеллі, так як, то задана система лінійних алгебраїчних рівнянь не сумісних і рішень не має.
Дана система лінійних алгебраїчних рівнянь рішень не має.
Перевірити, сумісна чи система. якщо так, знайти її рішення:
Випишемо основну і розширену матриці заданої системи
Обчислимо ранги цих матриць за допомогою елементарних перетворень рядків. Розглянемо розширену матрицю. Перший рядок залишимо без зміни, до другої рядку додамо першу, помножену на, до третьому рядку додамо першу, помножену на, отримаємо:
Далі перший рядок залишимо без зміни, третій рядок скоротимо на і переставимо другу і третю рядки, отримаємо:
Перші два рядки залишимо без зміни, до третьої додамо другу, помножену на 4:
Таким чином, матриці і мають по три лінійно незалежні рядки, тому їх ранги рівні. По теоремі Кронекера-Капеллі, так як ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює кількості невідомих, то дана система має єдине рішення. Знайдемо його. Для цього, використовуючи останню матрицю, перейдемо до системи рівнянь
Обчислимо послідовно значення невідомих. З останнього рівняння отримуємо, що. Підставляючи це значення невідомої в друге рівняння, матимемо:
Тепер підставимо значення знайдених невідомих в перше рівняння: