Визначення. Лінійний оператор називається нормальним. якщо.
Зауваження. Унітарні і самосопряженних лінійні оператори є окремими випадками нормальних операторів.
Теорема. Спектральна характеристика нормального оператора. Для того, щоб існував ортонормованій базис, в якому лінійний оператор приводиться до діагональної формі, необхідно і достатньо, щоб.
Необхідність. Нехай в деякому ортонормированном базисі матриця оператора А діагональна. тому базис ортонормованій, то матриця оператора буде (транспонування, пару). Отже,.
Достатність. Нехай. Покажемо, що в операторів А і існує загальний власний вектор:
Лінійна оболонка буде одновимірним інваріантним подпространством, а буде також інваріантним подпространством. Доведемо це:
Нехай. також буде належати. тому . Розглянемо тепер дію оператора А з () ... Продовжуючи цей процес, отримаємо ортогональний базис з власних векторів, нормуємо його - нормований.
Визначення. називається оператором простої структури. якщо А має n лінійно незалежних власних векторів.
Теорема. Критерій простоти структури лінійного оператора. Для того, щоб лінійний оператор А мав просту структуру необхідно і достатньо, щоб для будь-якого кореня характеристичного рівняння кратності ранг.
Необхідність. А - оператор простої структури. Отже, існують n лінійно незалежних векторів, вибираючи які в якості базису L, отримаємо, що матриця лінійного оператора в базисі має вигляд:. Причому серед можуть бути однакові. Якщо через А позначити матрицю лінійного оператора в деякому довільному базисі. то. де Р - матриця переходу від базису е з власних векторів до базису f. Отже. тобто і подібні і мають однаковий ранг. . числу відмінних від нуля її діагональних елементів, тобто числу коренів характеристичного рівняння нерівних. таким чином .
Достатність. Нехай - різні власні значення оператора А. Власні вектори, що відповідають власному значенню. утворюють підпростір в L розмірністю. Отже, лінійний оператор А має лінійно незалежних власних векторів, відповідних власному значенню. Т.ч. ми маємо власних векторів. Покажемо, що вони лінійно незалежні в сукупності (від противного). Нехай це не так і рівність нулю лінійної комбінації можливо при ненульових коефіцієнтах. Отже, нехай. Введемо лінійний оператор.
Достатній ознака оператора простої структури. Довести, що у будь-якого лінійного оператора в матеріальному просторі існує одномірне (двовимірне) інваріантне підпростір.
Теорема. Достатній ознака оператора простої структури. Якщо все коріння характеристичного рівняння різні, то лінійний оператор А має просту структуру.
Доведення. Нехай. Покажемо, що система лінійно незалежна: (1). Подіє лінійним оператором. (2). Подіє на (2) лінійним оператором. (3). Продовжуючи процес аж до оператора отримаємо (4). Зауважимо, що (4) - це результат застосування оператора до вихідного рівняння. З (4) випливає. Якщо до вихідного рівняння застосувати оператор можна показати, що. І взагалі відповідним вибором оператора можна домогтися, що все. Отже, - лінійно незалежні, а А - оператор простої структури.
Теорема 1. У всякого лінійного оператора в матеріальному просторі існує одномірне (двовимірне) інваріантне підпростір.
Доведення. Виберемо в лінійному просторі Х базис. У цьому базисі лінійного оператору А відповідає матриця. перетворює координати в координати. Розглянемо умова в координатної формі:
Тоді нульове рішення (1) існує, якщо (2). І нехай - корінь рівняння (2). Можливі два випадки:
1) - речовий, тоді існує рішення системи (1). визначальне координати власного вектора х. х породжує одновимірний інваріантне простір;
- комплексне (). Нехай - це рішення системи (1). Підставами ці числа в (1) і відокремимо речову частину від уявної.
(3).
Будемо вважати - координатами деякого вектора х, а - координатами у, тоді (4). Рівність (4) означає, що лінійна оболонка є двовимірне інваріантне підпростір відносне оператора.