глава I
ВСТУП
Уявімо собі, що у нас є набір з трьох або більшої кількості двобуквених суджень, всі терміни яких є видами одного і того ж роду. Судження ці пов'язані між собою так, що, взявши певну пару суджень, ми одержимо висновок, приєднавши до нього нове судження - інше висновок і т.д. до тих пір, поки не переберемо все судження, що входять в набір. Ясно, що якби судження вихідного набору були справжніми, то і остаточний висновок було б неправдою.
Такий набір разом з приєднаним до нього останнім висновком називається смітить. Вихідний набір суджень називається посилками. кожне з проміжних висновків - приватним висновком. останній висновок - повним висновком. або просто висновком. Рід, видами якого є всі терміни, ми будемо називати Всесвіту розгляду. або коротко - Всесвіту. смітить; виключаються терміни входять до смітить силогізмів - виключати термінами смітить. а два залишилися терміна, що увійшли до його закінчення, - що залишаються термінами смітить. (Зауважимо, що кожна приватна висновок містить один або два виключаються терміна, але в остаточне рішення входять лише залишаються терміни).
Про укладення кажуть, що воно випливає з посилок. Перед ним зазвичай або ставлять слово «отже», або відокремлюють його від посилок горизонтальною лінією. Підкреслимо, що питання про те, чи слід цей висновок з посилок, не залежить від фактичної істинність або хибність будь-якого з міркувань, що входять в смітить, а визначається виключно взаємозв'язком між судженнями.
Як приклад смітить розглянемо наступний набір з 5 суджень:
Взявши перше і друге судження, отримаємо висновок «Жодне a не їсти c '». Взявши його разом з третім судженням, отримаємо висновок «Жодне a не їсти d '». З нього і четвертого судження треба зробити висновок «Жодне d 'не їсти e'». З останнього, взятого разом з п'ятим судженням, треба зробити висновок «Все h суть d». Таким чином, якби початкові думки були справжніми, то і отримане висновок було б неправдою.
Отже, вихідні 5 суджень разом із судженням «Все h суть d» утворюють смітить. Вихідні судження служать посилками смітить, судження «Всі h суть d» - його висновком; a. b. c. e - виключати термінами смітить, а d і h - його залишали йому термінами.
Весь смітить в цілому можна представити в наступному вигляді:
Жодне a не їсти b '.
Жодне e 'не їсти a';
У цьому смітите трьома приватними висновками трапляться судження «Жодне a не їсти c '», «Жодне a не їсти d'», «Жодне d 'не їсти e'». При іншому розташуванні посилок приватні ув'язнення могли б бути іншими. Наприклад, якби ми брали судження в послідовності 4, 1, 5, 2, 3, то приватними висновками були б судження «Жодне c 'не їсти b'», «Все h суть b», «Все h суть c». Всього в цьому смітите є дев'ять приватних висновків. Знайти їх ми надаємо читачеві в якості цікавою завдання.
глава II
ЗАВДАННЯ НА смітить
§ 1. Попередні зауваження
Завдання, які нам належить вирішувати, формулюються наступним чином: «Дано три або більше число суджень відносини. Прийнявши їх за посилки, встановити, яке висновок (якщо таке існує) з них слід ».
Поки ми обмежимося лише тими завданнями, які можна вирішувати за допомогою формул фігури I (див. Книгу VI, глава III, § 2). Завдання, що вимагають для свого вирішення інших формул, занадто важкі для початківців.
Завдання розглядається нами типу можна вирішувати за допомогою будь-якого з двох методів:
- методу окремих силогізмів;
- методу підкреслення.
Розглянемо кожен з методів окремо.
§ 2. Рішення смітить методом окремих силогізмів
Правила, яких слід дотримуватися при вирішенні задач методом окремих силогізмів, зводяться до наступного.
- Вибрати «Всесвіт».
- Скласти словник літерних позначень a. b. c. і т.д. для термінів суджень.
- Записати судження в індексному формі.
- Вибрати два судження, які містять два ко-класу, і використовувати їх в якості посилок силогізму.
- Знайти за формулою висновок силогізму.
- Серед посилок вибрати таку, яка разом з отриманим висновком другого силогізму утворила б посилки силогізму.
- Користуючись формулою, знайти висновок другого силогізму.
- Продовжувати цей процес до тих пір, поки не будуть вичерпані всі посилки.
- Уявити останній висновок, яке є повним висновком смітить в конкретній формі.
Як приклад розглянемо наступний набір посилок:
- Все полісмени в цій окрузі вечеряють у нашій кухарки.
- Людина з довгим волоссям не може не бути поетом.
- Амос Джадд ніколи не сидів у в'язниці.
- Все кузени нашої кухарки люблять холодну баранину.
- У цій окрузі немає інших поетів, крім полісменів.
- З нашої куховаркою не вечеряти ніхто, крім її кузенів.
- Всі люди з коротким волоссям сиділи в тюрмі.
Всесвіт - «люди», a = Амос Джадд, b = кузени нашої кухарки, c = сиділи в тюрмі, d = з довгим волоссям, e = люблячі холодну баранину, h = поети, k = полісмени цієї округи, l = вечеряти з нашої куховаркою.
Уявімо вихідні посилання в індексному формі. Для цього перш за все слід подати їх в абстрактній формі:
Уявити абстрактні судження в індексному формі не становить вже ніяких труднощів:
Знайдемо тепер дві посилки, з яких випливає висновок. Для цього візьмемо першу посилку і будемо перебирати по порядку всі інші до тих пір, поки не дійдемо до посилки, яка разом з першою утворить фігуру I .Такий посилкою як неважко бачити, буде посилка 5 (k - виключається термін). Отже, першим буде силогізм
Візьмемо висновок l'h0 і підшукаємо йому пару серед решти шести посилок. Шуканим судженням виявиться посилка 2 (h - виключається термін), тому наш другий силогізм матиме вигляд:
Посилки 1, 5 і 2 ми вже використали, тому пару для укладення l'd0 необхідно шукати серед решти посилок. Взявши посилку 6, отримаємо третій силогізм:
Яка посилка утворює пару з db'0. Очевидно, посилка 4. Четвертий силогізм має вигляд:
§ 3. Рішення смітить методом підкреслення
Розглянемо пару посилок
з яких випливає висновок xy0.
Щоб отримати xy0. ми повинні, як випливає з формули, виключити m і m 'і написати x і y поруч, в одному вираженні.
Виключені букви будемо підкреслювати. першу букву - однією рисою. другу - двома. Тоді вихідні посилання візьмуть вид
Виписуючи посилки для підкреслення, зручно опускати все індекси. нулі можна і без того вважати стоять у всіх виразів, а з одиниць нас будуть цікавити лише ті, які стоять у букв, що входять в остаточне рішення (бо навіщо нам знати, стверджується чи що-небудь про існування термінів, які все одно будуть виключені) . Ці одиниці неважко відновити по вихідному висловом.
Розглянемо рішення смітить методом підкреслення більш докладно на прикладі з § 2. Вихідні дані:
Читачеві рекомендується взяти листок паперу і виписати для себе це рішення. Перший рядок записи буде складатися з вихідних даних, друга буде складатися мало-помалу в процесі вирішення.
Перш за все випишемо першу посилку, зберігши порядковий номер, що стоїть над нею, але опустивши всі індекси. Потім ми повинні знайти посилку, яка «узгоджується» з першої, тобто містить або k '. або l. Переглядаючи посилки зліва направо, ми виявимо, що такий посилкою є посилка 5, і приєднаємо її до першої, поставивши між ними знак †.
Щоб вивести висновок, необхідно виключити з посилок 1 і 5 терміни k і k '. а то, що при цьому вийде, представити у вигляді одного виразу. Підкреслимо k однією рисою, а k '- двома і отримаємо l'h.
Тепер нам потрібно знайти посилку, що містить або l. або h '. Переглядаючи посилки одну за одною, ми виявляємо, що цій умові задовольняє посилка 2, і приєднуємо її до раніше виписаних.
Три посилки-химери (1, 5, 2) в дійсності еквівалентні висловом l'h † dh '. з якого необхідно виключити терміни h і h '. а то, що вийде, записати у вигляді одного виразу. Підкреслимо h і h '. У нас залишиться l'd.
Знайдемо посилку, що містить або l. або d '. Такий посилкою виявляється посилка 6.
Чотири посилки-химери, які стоять тепер у другому рядку, еквівалентні висловом l'd † b'l. Підкресливши l і l '. отримаємо db '.
Шукаємо посилку, що містить або d '. або b. Це буде посилка 4. Підкресливши b і b '. отримаємо висновок de '.
Після цього нам необхідно знайти посилку, що містить або d '. або e. Такий посилкою є посилка 7. Підкресливши d і d '. отримаємо висновок e'c '.
Тепер нам потрібно знайти посилку, що містить або e. або c. Такий посилкою є посилка 3 (можна сказати, повинна бути посилка 3, бо інших посилок не залишилося).
Підкресливши c 'і c ми виявимо, що всі довге вираження еквівалентно e'a. Тому e'a можна розглядати як висновок смітить і приєднати до ланцюжку посилок знаком P.
Тут ми повинні повернутися до вихідних даних і перевірити, чи не міститься в них твердження про существованііe 'або a. Твердження про існування a ми виявимо в посилці 3. Додавши цей факт до висновку, запишемо останнім у вигляді P e'a0 † a1. тобто P a1e'0. або «Все a суть e».
Якщо читач строго дотримувався всіх вказівок, у нього повинна вийти наступна запис рішення: