Стан частинок зазвичай визначають в фазовому просторі (просторі імпульсів і координат). Електрон, як і інші квантові частинки з напівцілим спіном, підпорядковується принципу невизначеності. Це означає, що різним елементам фазового обсягу відповідатимуть різні квантові стану лише в тому випадку, якщо обсяг цих елементів не менше. тобто за елементарну комірку фазового простору слід прийняти обсяг.
Вважаючи потенційну енергію однаковою у всіх точках фізичного обсягу, можна перейти від фазового простору до простору імпульсів (або - простору), в якому елементарна осередок має обсяг де - обсяг кристала.
Визначимо щільність енергетичних станів. тобто число станів в одиничному інтервалі енергій для одиничного обсягу кристала
Вид функції залежить від того, як сама енергія виражається через квазіімпульсів частинок. Якщо в просторі квазіімпульсів (або -простору) через точки з однаковими значеннями енергії провести поверхню, то отримаємо так звану ізоенергетичних поверхню.
У наближенні вільних електронів енергія визначається виразом
де - енергія, відповідна дну зони провідності. Ізоенергетичних поверхнями в цьому випадку є сфери (рис.4.16).
Обсяг кульового шару між сферами радіусів і дорівнює. У ньому може розміститися елементарних осередків (з урахуванням спина електрона) а в одиничному об'ємі кристала
Рис.4.16. Ізоенергетичних поверхні в просторі квазіімпульсів
Висловлюючи і з (4.71) і підставляючи в (4.72), отримуємо для щільності станів в зоні провідності
Для станів поблизу стелі валентної зони енергія має вигляд
і щільність станів визначається виразом
Помноживши (4.73) на ймовірність заповнення даного енергетичного стану електроном, тобто на функцію Фермі-Дірака отримаємо розподіл електронів по енергіях (приймаємо)
З математичної точки зору є функція, яка залежить від двох параметрів і:
Тут є постійна Больцмана.
Застосовується для розрахунку енергії Фермі функція являє собою сімейство кривих, залежних від температури (ріс.4.17, а). При функція терпить розрив в точці
Ріс.4.17. Вид функції Фермі при різних температурах (а) і розподіл електронів по енергіях (б)
Графік розподілу електронів по енергіях представлений на рис. 4.17, б. При абсолютному нулі температури стану в зоні провідності заповнені аж до рівня Фермі, стану вище енергії Фермі - вільні. При частина електронів за рахунок термічного збудження переходить на вільні рівні, що лежать вище рівня Фермі.