№1. Сформулюйте визначення числа і вектора Фробениуса неотрицательной матриці. Сформулюйте теорему Фробениуса-Перона.
Визначення. Максимальна по модулю власне значення λА неотрицательной матриці А називається числом Фробениуса матриці А, а відповідний йому ненегативний власний вектор А - вектором Фробеніуса для А.
Теорема: 1) λА - дійсне невід'ємне число. Існує ненегативний власний вектор А. відповідає цьому власному значенню. 2) Якщо А> 0, то λА> 0 і існує позитивний власний вектор.
№ 2. Доведіть таке твердження: якщо> 0 - власний вектор неотрицательной матриці. то він є її вектором Фробеніуса.
Позначимо через α власне значення, якому належить вектор. отже. виконано рівність А = α. Помноживши його з лева на і враховуючи А = λА. маємо А = λА, так що α = λА. Оскільки за умовою> 0, то не дорівнює нулю, так що α = λА. що і закінчує доказ.
№3. Доведіть таке твердження. Нехай s і S -мінімальна і максимальна суми елементів стовпців матриці А. Тоді число Фробеніуса λА матриці А задовольняє нерівності s T A = 1. A? ? A = λA? ? A;
№4. Запишіть структурну таблицю і рівняння міжгалузевого балансу Леонтьєва для трехотраслевой моделі економіки; вкажіть економічний сенс входять в рівняння величин. Запишіть формулу обчислення елементів матриці Леонтьєва через відомі елементи структурної таблиці міжгалузевого балансу.
? ? - рівняння міжгалузевого балансу (рівняння Леонтьєва). Вектора валового випуску -? ?. матриця прямих витрат - A, вектор кінцевого продукту -? ?. аij =? ?. де? ? - обсяг продукції i галузі, що витрачається у виробництві j галуззю,? ? - валовий випуск j галузі.
№.5 Сформулюйте і доведіть перший критерій продуктивності, тобто теорему про те, що матриця А≥0 продуктивна тоді і тільки тоді, коли матриця? (E-A) -1? існує і неотрицательна.
Нехай існує? (E-A) -1? ≥0, тоді x = (E-A) -1 * y, де обидва множники> 0, отже. x≥0, а значить, матриця продуктивна. Нехай А продуктивна. (E-A) x = e1. значить з1 ≥0, (E-A) x = e2. значить с2 ≥0, отже. (С1, с2, cn) = C≥0. (E-A) C = E≥C = (E-A) -1 ≥0
№6. Доведіть, що якщо неотрицательная квадратна матриця продуктивна, то її число Фробеніуса менше 1.
Нехай неотрицательная матриця A продуктивна. Тоді для будь-якого невід'ємного вектора існує рішення рівняння. Нехай. тоді, очевидно,. Помноживши рівність зліва на лівий вектор Фробеніуса і враховуючи. що. отримаємо. або. Так як і. . то. . Тому з останнього рівності випливає, що.
№ 7. Сформулюйте визначення запасу продуктивності неотрицательной матриці. Виведіть формулу для обчислення запасу продуктивності через число Фробеніуса.
Нехай А> 0 - продуктивна матриця. Запасом продуктивності матриці А назвемо таке число α> 0, що всі матриці λА, де 1 -1 = 1 / ((1-a11) (1-a22) - (a21 * a22)) * | 1-a22 -a21 |
Модель рівноважних цін: P = A T p + v, де вектор v = (v 1. v 2. ..., v n) T - вектор норм доданої вартості. Як ми бачимо, отримані рівняння дуже схожі на рівняння моделі Леонтьєва, з тією лише різницею. що вектор х замінений на вектор р, вектор y - на вектор v, матриця А замінена на транспоновану - A T.
Модель рівноважних цін дозволяє, знаючи величини норм доданої вартості, прогнозувати ціни на продукцію галузей. Вона також дозволяє прогнозувати зміну цін і інфляцію, що є наслідком зміни ціни в одній з галузей.
№9. Наведіть приклади завдань лінійного програмування на мінімум (завдання про дієту) і на максимум (завдання про використання ресурсів): текстову формулювання і математичну постановку задачі.
Завдання про дієту. Нехай є 2 види продуктів П1 і П2. містять поживні речовини А, В, С. В 1кг продуктів П1 і П2 міститься певна кількість поживних речовин того чи іншого виду.
Відомо: a, b, c - щодобове споживання А, В і С відповідно.
s1, s2 - вартості 1 кг продуктів П1 і П2 відповідно.
Потрібно розрахувати кількість x1 продукту П1 і кількість x2 продукту П2 так, щоб забезпечити необхідну кількість поживних речовин при min витратах на продукти.
Математична задача про дієту полягає у знаходженні значень невідомих x1. x2. задовольняють умовам:
Завдання про використання ресурсів. Нехай ресурси трьох видів R1. R2. R3 є в кількостях відповідно b1, b2, b3 в у.о.
Т1, Т2 - випускає підприємство товари.
aij - число одиниць ресурсу Ri (i = 1, 2, 3), необхідне для виробництва одиниці товару Ti (j = 1, 2).
с1, с2 - дохід з одиниці кожного виду товарів відповідно.
х1. х2 - кількість товарів Т1 і Т2 відповідно.
Математична задача про використання ресурсів полягає в знаходженні значень невідомих x1. x2. задовольняють умовам:
№ 10. Наведіть загальну постановку ЗЛП. Дайте визначення наступним термінам: цільова функція. допустиме безліч завдання, оптимальне рішення, оптимальне безліч.
Якщо цільова функція і система обмежень лінійні, т. Е. Кожна з них має вигляд a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn + b, то задача математичного програмування називається задачею лінійного програмування (ЗЛП).
На практиці часто зустрічаються такі ситуації, коли досягти якогось результату можна не одним. а декількома різними способами. Коли рішень багато, шукається найкраще. Математично це зводиться до задачі: знайти max (min) f (x) за умови, що змінна x пробігає деякий заздалегідь відоме безліч X. f (x) max (min), x ε Х.
Таке завдання називається завданням оптимізації. Безліч X називається допустимим безліччю даного завдання, а функція f (x) - цільовою функцією. Слід знаходити не тільки саме значення max (min) f. але і точку або точки, якщо їх декілька. в яких це значення досягається. Такі точки називаються оптимальними рішеннями. Безліч всіх оптимальних рішень називають оптимальним множиною і позначають X *.
№. 11. Що таке стандартна форма задачі лінійного програмування? Що таке канонічна форма задачі лінійного програмування? Наведіть приклад завдання, форма якої не є ні канонічної, ні стандартної. Наведіть цю задачу до канонічної і стандартної формам.
Канонічна форма ЗЛП, крім нетривіальних обмежень, включає в себе тільки рівняння (приклад транспортна ЗЛП)
Стандартна форма ЗЛП складається тільки з нерівностей, включаючи тривіальні обмеження.
Приклад 1. Привести дану ЗЛП до канонічного вигляду.
Приклад 2. Привести задану ЗЛП до стандартного вигляду.
Хi> = 0 Хi> = 0
№ 12. Спираючись на алгоритм графічного методу. побудуйте два завдання лінійного програмування з однієї і тієї ж цільової функцією f (x1. x2) = x1 + x2. в одній з яких існує єдина точка максимуму, а в іншій - безліч точок мінімуму. Допустиму область задачі покажіть на кресленні і задайте системою нерівностей.