Переміщення матеріальної точки
Нехай матеріальна точка здійснює рух по осі X весь час в одному напрямку. Тоді переміщенням цієї матеріальної точки за відрізок часу $ \ Delta t = t_2-t_1 $ буде відрізок $ \ Delta x = x_2-x_1 $. Якщо матеріальна точка весь час свого руху переміщалася в одному напрямку, то пройдений шлях ($ \ Delta s $) дорівнює по модулю величиною переміщення:
\ [\ Delta s = \ left | \ Delta x \ right | \ left (1 \ right). \]
Якщо точка рухається спочатку в одному напрямку, потім зупиняється і рухається в протилежному напрямку, (наприклад, так рухається тіло кинуте вертикально вгору) то шлях дорівнює сумі модулів переміщень в обох напрямках:
\ [\ Delta s = \ left | \ Delta x_1 \ right | + \ left | \ Delta x_2 \ right | + \ dots \ left (2 \ right). \]
Визначення середньої швидкості
Середньою швидкістю ($ \ left \ langle v \ right \ rangle $) матеріальної точки за проміжок часу $ \ Delta t $ називають фізичну величину, яка дорівнює відношенню переміщення, яка вчинила тіло до цього проміжку часу:
\ [\ Left \ langle v \ right \ rangle = \ frac \ left (3 \ right). \]
Напрямок середньої швидкості таке ж, як у переміщення.
Одиницею швидкості є швидкість такого руху, при якому переміщення точки в одиницю часу дорівнює одиниці довжини:
Одиниця виміру швидкості (в тому числі і середньої швидкості) в Міжнародній системі одиниць (СІ) є метр в секунду:
Середня швидкість при змінному русі
При нерівномірному русі величина середньої швидкості сильно залежить від вибору проміжку часу руху тіла.
Розглянемо рух тіла, яке вільно падає вниз. Закон руху при цьому:
Для моментів часу $ t_1 = 0,1 \ $ c координата тіла (підставимо час $ t_1 $ в формулу (4)) дорівнює: $ x_1 = 0,049 \ $ м; для $ t_2 = 0,2 \ $ c $ \ x_2 = 0,196 $ м, тоді $ \ left \ langle v \ right \ rangle $ в проміжку часу від $ t_1 = 0,1 $ с до $ t_2 = 0,2 \ $ c буде:
Якщо взяти для того ж вільно падаючого тіла проміжок часу від $ t_1 = 0,7 $ с до $ t_2 = 0,8 \ $ c, то середня швидкість вийде рівною $ \ left \ langle v \ right \ rangle = 7,4 \ frac $.
Середня швидкість рівномірного руху
Тільки при рівномірному русі середня швидкість є постійною величиною і не залежить від вибору проміжку часу, в який рухається тіло. При рівномірному русі матеріальної точки по осі X кінематичні рівняння для переміщення запишемо як:
Знайдемо середню швидкість руху, використовуючи визначення (3) і вирази (6):
Для оцінки чисельної величини середньої швидкості на практиці використовують наступне визначення $ \ left \ langle v \ right \ rangle $: середня швидкість дорівнює відношенню пройдений шляху (s) до часу (t), яке було витрачено на рух:
\ [\ Left \ langle v \ right \ rangle = \ frac \ left (7 \ right). \]
Обумовлена таким чином середня швидкість є скалярною величиною.
Приклади завдань з рішенням
Завдання. Пішохід, витратив першу половину часу свого руху, рухаючись зі швидкістю $ v_1 = 5 \ frac $, другу половину часу він йшов зі швидкістю $ v_3 = 3 \ frac $. Яка середня швидкість руху людини?
Рішення. Зробимо малюнок.
Для вирішення задачі використовуємо формулу, визначальну середню швидкість:
\ [\ Left \ langle v \ right \ rangle = \ frac \ \ left (1.1 \ right), \]
де шлях складається з двох ділянок руху:
Причому за умовами задачі:
\ [S_1 = v_1t_1 = v_1 \ frac \ left (1.3 \ right) \ і \ \] \ [s_2 = v_2t_2 = v_2 \ frac \ left (1.4 \ right). \]
Підставами в визначення середньої швидкості (1.1) праві частини виразів (1.2) - (1.4), і врахуємо, що $ t = t_1 + t_2 $ маємо:
Обчислимо середню швидкість пішохода:
\ [\ Left \ langle v \ right \ rangle = \ frac = 4 \ (\ frac). \]
Відповідь. $ \ Left \ langle v \ right \ rangle = 4 \ frac $
Завдання. Яка середня швидкість, яку мала матеріальна точка за проміжок часу $ \ tau $, якщо рівняння її швидкості має вигляд:
\ [V \ left (t \ right) = A + Bt + Ct ^ 2 \ \ left (0 \ le t \ le \ tau \ right) \ left (2.1 \ right). \]
Рішення. В якості основи для вирішення задачі використовуємо формулу ($ t = \ tau $):
\ [\ Left \ langle v \ right \ rangle = \ frac \ \ left (2.1 \ right). \]
Знайдемо шлях матеріальної точки, з огляду на рівняння швидкості з даних завдання:
Підставами праву частину виразу (2.2) в (2.1), маємо: