А тепер уявімо собі таку цілком ймовірну ситуацію: дружині не сподобалася ідея зробити колони посередині (показані на малюнку 293.1 темнозеленого кольором). Їй хочеться простору і легкості.
Нічого не вдієш, жінкам видніше, ну а нам, щоб цю саму легкість дотримати, доведеться додатково розрахувати ферму прямокутної форми (на малюнку 293.1 загальні контури прямокутних ферм показані фіолетовим кольором).
Малюнок 293.1. Загальна попередня схема арочної галереї.
В цілому, якщо виготовлення ферм планується з одного-двох типорозмірів профілю, то розрахунок такий прямокутної ферми багато часу не займе.
Зосередженими навантаженнями для даних прямокутних ферм будуть опорні реакції для розраховувалися раніше аркових ферм. Ці навантаження Q буде докладено в вузлах ферми, як показано на малюнку 554.1.б). Загальна геометрія ферми показана на малюнку 554.1.а):
Малюнок 554.1. Загальна геометрія і розрахункові схеми для прямокутної ферми.
Для спрощення розрахунків довжини всіх прольотів між вузлами в верхньому поясі прийняті однаковими.
Визначення зусиль в стержнях ферми
Розрахунок ферм буде проводитися методом перетинів, основні положення якого викладені окремо.
Коли ми розраховували арочні ферми, то з'ясували, що опорні реакції у цих ферм можуть бути різними в залежності від аналізованого варіанта снігового навантаження. Для подальших розрахунків приймемо максимально можливе значення опорних реакцій, тоді навантаження на ферму від аркових ферм будуть Q = 796.1 кг.
Крім того на ферму буде діяти рівномірно розподілене навантаження від власної ваги ферми, до того ж спочатку нам не відома, а це означає, що ферму слід додатково розрахувати на це навантаження. Однак з урахуванням того, що власна вага ферми буде відносно невеликою, то для спрощення розрахунків цю розподілене навантаження від власної ваги можна умовно привести до зосередженим в вузлах ферми. Наприклад, якщо ферма буде важити близько 28 кг, то додаткові зосереджені навантаження складуть 28/7 = 4 кг, тоді розрахункові навантаження складуть:
Q = 796.1 + 4 ≈ 800 кг
Так як у нас симетрична ферма, до якої однакові навантаження також включені симетрично, то опорні реакції будуть рівні між собою і складуть:
Значення горизонтальної складової опорної реакції на опорі А дорівнюватиме нулю, так як горизонтальних навантажень в нашій розрахунковій схемі немає, тому горизонтальна складова реакції на опорі А показана на малюнку 554.1.в) блідо фіолетовим кольором.
Також на малюнку 554.1.в) показані перетину, за якими можна розрахувати зусилля у всіх стержнях ферми з урахуванням симетричності ферми і навантажень. Далі буде розглядатися розрахунок тільки по 4 перетинах.
Маркування, показана на малюнку 554.1.г) означає, що у ферми є:
Стрижні нижнього пояса: 1-а, 1-в, 1-д, 1-ж;
Стрижні верхнього пояса: 3-б, 3-г, 3-е;
Розкоси: а-б, б-в, в-г, г-д, д-е, е-ж.
При необхідності для маркування стрижнів, симетричних зазначеним, можна використовувати апостроф '.
Якщо стоїть завдання розрахувати всі стрижні ферми, то краще скласти таблицю, в яку вносяться всі стрижні ферми. Потім в цю таблицю будуть внесені результати розрахунків, зокрема значення стискають або напруг, що розтягують.
У всіх перетинах, показаних на малюнку 554.1, сили N спрямовані так, що викликають розтягування в розглянутих стержнях. Якщо за результатами розрахунків зусилля в даному стрижні буде негативним, то це означає, що в цьому стрижні будуть діяти стискають нормальні напруги.
Приступимо до розгляду перетинів.
перетин II-II (рис. 554.1.е)
Складемо рівняння моментів щодо вузла 3, це дозволить визначити зусилля в стержні 3-б:
де l - плече дії сили Q і опорної реакції VA. рівну відстані від вузла 1 до вузла 3 по горизонталі, згідно з прийнятою нами розрахункової схеми l = 0.525 м; h - плече дії сили N3-a. рівне висоті ферми, в даному випадку h = 0.4м. Це означає, що в дійсності загальна висота ферми з урахуванням перетинів верхнього і нижнього пояса буде трохи більше, так як в даному випадку висота - це відстань між нейтральними осями верхнього і нижнього поясів.
Щоб визначити напруги в стрижні а-б складемо рівняння моментів щодо вузла 1:
В даному випадку h '- плече прикладання сили Nа-б - це висота прямокутного трикутника. Плече було визначене в такий спосіб, спочатку обчислюється значення кута а між стрижнями 1-а і а-б.
tga = 0.4 / 0.525 = 0.762
де 0.4 і 0.525 - довжини стрижнів - катетів прямокутного трикутника.
h '= 0.525sina = 0.525 · 0.606 = 0.318 м
Зусилля в стержні 1-а дорівнюватимуть нулю, в чому легко переконатися, склавши рівняння моментів щодо вузла 2:
Перевіримо правильність обчислень, склавши рівняння проекцій сил на основні осі:
Невелика похибка в обчисленнях набігла через те, що обчислення ведуться з точністю до одного знака після коми, а в значеннях тригонометричних функцій вказуються тільки 3-4 знака після коми. Але в даному випадку велика точність і не потрібна. В цілому при таких навантаженнях, на похибка до 1 кг можна не звертати уваги.
перетин VII-VII (рис. 554.1.д)
Для визначення зусиль в стержні 1-ж складемо рівняння моментів щодо вузла 8:
Для визначення зусиль в стержні 3-е складемо рівняння моментів щодо вузла 7:
N3-е = (800 · 4.725 - 2800 · 2.625) /0.4= - 8925 кг (працює на стиск)
Для визначення зусиль в стержні е-ж складемо рівняння моментів щодо вузла 9:
Перевіримо правильність розрахунків
Для кращого уявлення загальної картини перевіримо ще пару перетинів
перетин VI-VI (рис. 554.1.ж)
Для визначення зусиль в стержні 1-д складемо рівняння моментів щодо вузла 6:
Для визначення зусиль в стержні д-е складемо рівняння моментів щодо вузла 5:
Перевіримо правильність розрахунків, визначивши проекції сил на вісь х:
перетин III-III
Зусилля в стержні 3-б нам уже відомі, тому для визначення зусиль в стержні б-в складемо рівняння моментів щодо вузла 5:
Зусилля в стержні 1-в буде явно значно менше, ніж в стрижні 1-ж і тому в даному випадку воно нас не цікавить, так як ми плануємо робити нижній пояс з труби одного перетину. А щоб визначити правильність розрахунків в даному випадку визначимо проекції сил на вісь у:
Тепер у нас є всі основні дані для подальшого розрахунку
Підбір перерізу
На перший погляд найбільш завантаженим є стрижень нижнього пояса 1-ж. на який діє поздовжня сила, що розтягує N1-ж = 9450 кг. Однак напруги в стислому стрижні 3-е в результаті поздовжнього вигину можуть бути навіть більше, тому в першу чергу перевіримо міцність саме цього стрижня за такою формулою:
де φ - коефіцієнт поздовжнього вигину, F - площа перетину профілю, см, R - розрахунковий опір матеріалу профілю. Якщо розрахунковий опір стали зараннее невідомо, то для надійності рекомендується приймати одне з мінімальних R = 2300 кг / см 2.
Розрахунок стиснутих стержнів нічим не відрізняється від розрахунку колон. тому далі наводяться тільки основні етапи розрахунку без докладних пояснень.
Попередньо визначимо площа перерізу профілю. Для розтягнутого стержня 1-ж ця площа складе:
F = N / R = 9450/2300 = 4.11 см 2
По сортаменту для прямокутних профільних труб цій вимозі задовольняє труба перетином 50х30х3 мм, площа перерізу такої труби складе F = 4.21 см 2. мінімальний радіус інерції i = 1.16 см. Перевіримо, чи підходить ця труба для стисненого верхнього пояса ферми, так як робити пояса з труб різного перетину - додаткове ускладнення технології, мало виправдане при таких малих обсягах робіт, всього-то потрібно зробити 2 ферми.
При радіусі інерції i = 1.14 см, значення коефіцієнта гнучкості складе
λ = μl / i = 1 · 105 / 1.16 = 90.5 ≈ 90
тоді по таблиці 2 коефіцієнт вигину φ = 0.629 (визначається інтерполяцією значень 2050 і 2450)
8925 / (0.629 · 4.21) = 3368 кгс / см 2 >> R = 2300 кгс / см 2;
Як бачимо, таке значення напруг значно більше допустимого. Якщо для виготовлення поясів використовувати трубу 50х40х3 мм, що має площу перерізу 4.81 см і мінімальний радіус інерції i = 1.54 см, то результат розрахунків буде наступним:
λ = 1 · 105 / 1.54 = 68.2 ≈ 68
8925 / (0.77 · 4.81) = 2409 кгс / см 2> R = 2300 кгс / см 2;
Як бачимо і такої труби для забезпечення міцності мало. Ну а далі можливі різні варіанти, можна для виготовлення поясів використовувати трубу 50х40х3.5 мм з площею перетину 5.49 см 2. яка явно забезпечить необхідний запас міцності, можна розглядати й інші варіанти, але ми зупинимося на цьому.
Тепер потрібно перевірити максимально допустиму гнучкість для розтягнутого пояса з площини ферми. Згідно СНиП II-23-81 * "Сталеві конструкції" ця гнучкість для розтягнутих елементів ферм не повинна перевищувати 400. Відповідно труби при виготовленні потрібно розташовувати так, щоб 50 - це була ширина труби, а не висота, тоді при радіусі i = 1.81 см гнучкість нижнього пояса складе:
λ = 1 · 630 / 1.81 = 348
Ця вимога нами дотримано, можна переходити до розрахунку розкосів і стійок. Найбільш завантаженим розкосом буде стиснутий стрижень б-в. Його розрахункова довжина складе:
l = 0.525 / cos37.3 ° = 0,525 / 0.7954 = 0.66 м або 66 см
Для сусіднього розтягнутого розкосу, при заданому розрахунковому опорі для забезпечення міцності потрібно труба перетином не менше
F = N / R = 3300.4 / 2300 = 1.43 см 2
Для стисненого розкосу з урахуванням можливого поздовжнього вигину переріз повинен бути більше, наскільки саме - невідомо, але ми тепер вчені і тому відразу приймемо трубу з хорошим запасом по площі перетину.
Для початку перевіримо квадратну трубу 25х25х2.5 мм, що має перетин 2.14 см 2. радіус інерції i = (1.77 / 2.14) 1/2 = 0.91 см. Тоді:
3300.4 / (0.74 · 2.14) = 2084 кгс / см 2 Дана труба задовольняє вимогам і навіть з деяким запасом. Залишилося з'ясувати яка буде приблизно загальна маса ферми: m = 1.41 (0.66 · 12 + 0.4 · 2) + 4.31 · 6.3 · 2 = 66.6 кг Це в 2 рази більше, ніж ми припустили спочатку, але в цілому загальне збільшення навантаження з урахуванням власної ваги ферми буде дуже незначним, близько 0.6%. Проте пошук оптимального варіанту можна продовжувати, в даній статті зупинимося на тому, що є. Всі необхідні умови по міцності і стійкості нами дотримані, але при цьому ніхто не забороняє використовувати для виготовлення ферм профілі більшого перетину. Залишилося розрахувати довжини і катети зварних швів, але це вже окрема тема.