При цьому говорять, що ряд (53) породжений функцією f (x), а коефіцієнти ao. an. bn називаються коефіцієнтами Фур'є. У разі, коли функція f (x) має період Т = 2π, її ряд Фур'є має вигляд
і коефіцієнти Фур'є обчислюються за формулами
Для парних функцій ряд Фур'є (53) містить тільки члени
для непарних функції - тільки члени У цих випадках коефіцієнти Фур'є зручніше обчислювати за формулами
Важливе значення мають питання про те, за яких х ряд Фур'є сходиться і в якому випадку сума ряду в точці х дорівнює значенню функції f (x), що породжує цей ряд. Відповідь на ці питання дає теорема Діріхле.
Функція f (x) на відрізку [а, b] задовольняє умовам Дирихле. якщо
a) f (x) на відрізку [а, b] неперервна або має на цьому відрізку кінцеве число точок розриву I роду;
b) в кожному інтервалі неперервності f (x) монотонна, або має на цьому інтервалі кінцеве число точок екстремуму.
Наприклад, функція, зображена на рис. 22, задовольняє умовам Дирихле.
Теорема Діріхле. Функція f (x), періодична з періодом Т = 2l. задовольняє умовам Дирихле на відрізку [-l, l], розкладається в тригонометричний ряд Фур'є (53), причому:
a) в кожній точці безперервності х функції f (x) ряд Фур'є (53) сходиться до значення f (x);
b) в кожній точці розриву хi. функції f (x) ряд Фур'є (53) сходиться до значення
Тригонометричний ряд Фур'є є окремим випадком рядів, які виходять для довільних систем функцій, ортогональних на відрізку [а, b]. Причому самі функції не повинні бути періодичними.
Розглянемо систему функцій n (x), n = 0, 1,2.>, Ортогональную на відрізку [а, b] Поруч Фур'є функції f (x)
Розкладання періодичної функції в ряд Фур'є
Відповідно до гіпотези Фур'є не існує функції, яку не можна було б розкласти в тригонометричний ряд. Розглянемо, яким чином можна провести дане розкладання. Наступну систему ортонормованих функцій на відрізку [-π, π] можна уявити:
Керуючись тим, що дана система функцій є ортонормованій, довільну функцію f (t) на відрізку [π, -π] можна представити таким чином:
f (t) = # 945; 0 + # 945; 1 · cos (t) + # 945; 2 · cos (2t) + # 945; 3 · cos (3t) + ... + # 946; 1 · sin (t) +.
+ # 946; 2 · sin (2t) + # 946; 3 · sin (3t) + ... (1)
коефіцієнти # 945; n, # 946; n обчислюються через скалярний добуток функції і базисної функції за формулами, розглянутим раніше, і виражаються в такий спосіб:
# 945; 0 =
# 945; n =
# 946; n =
Вираз (1) можна записати в стислому вигляді наступним чином:
f (t) = a0 / 2 + a1 · cos (t) + a2 · cos (2t) + a3 · cos (3t) + ... + b1 · sin (t) + b2 · sin (2t) + b3 · sin ( 3t) + ... (2)
де
Так як при n = 0 cos (0) = 1, константа a0 / 2 висловлює загальний вигляд коефіцієнта an при n = 0.