графіки функцій
Хоча на самому іспиті ми очікуємо роботу саме з графіками функцій, проте в деяких завданнях дається замість малюнків їх опис. Це робиться, щоб підкреслити ті деталі, на які треба звернути увагу при роботі з графіками функцій.
Завдання № 5 нескладне, проте останні завдання придумані таким чином, щоб допитливим школярам було над чим подумати.
Відповіддю в завданні 5 є набір цифр, що описує відповідність між різними об'єктами.
Теорія до завдання №5
Так як в даному завданні мова йде про функції та їх графіках, наведемо основні поняття і формули.
На довільному прикладі ознайомимося з дослідженням функції:
- область визначення і множину значень
- коріння і критичні точки
- проміжки за зростанням за спаданням
Тепер розглянемо даний матеріал на лінійній функції:
де k - кутовий коефіцієнт, b - вільний член
Розглянемо випадок квадратичної функції:
Я розібрав три випадки - випадок з параболою і вплив коефіцієнтів на вигляд параболи - в першому прикладі. У другому прикладі розібрана гіпербола і загальні закономірності залежності загального виду графіка від математичного виразу. Третій випадок розглядає пряму і варіанти її побудови в залежності від коефіцієнтів.
Розбір типових варіантів завдання №5 ОГЕ з математики
Перший варіант завдання (параболи)
На малюнках зображені графіки функцій виду
Установіть відповідність між знаками коефіцієнтів a і c і графіками функцій.
А) a> 0, c> 0
Б) a <0, c> 0
В) a> 0, c <0
Ми згадуємо, за що відповідають коефіцієнти a і b при побудові графіків функції виду
Коефіцієнт a визначає напрямок гілок параболи: якщо a> 0, то гілки спрямовані вгору, а якщо a <0, то ветви направлены вниз.
Таким чином, ми бачимо, що тільки у другій параболи гілки спрямовані вниз, а значить a <0.
У першій і третій гілці спрямовані вгору, тобто a> 0.
Далі ми дивимося, на що впливає коефіцієнт c.
Коефіцієнт c відповідає за стан параболи відносно осі x, або ж відповідає за зсув по осі y, а саме:
якщо c> 0, то вершина параболи розташована вище осі х
якщо c <0, то вершина параболы расположена ниже оси x
Так, у першій параболи c <0, у второй и третьей c> 0.
З усього перерахованого вище можна знайти відповідь:
Другий варіант завдання (гіперболи)
Установіть відповідність між функціями і їх графіками.
У даній ситуації можна скористатися двома підходами - можна керуватися загальними міркуваннями, а можна просто вирішити задачу підстановкою. Я рекомендую вирішувати задачу загальними міркуваннями, а перевіряти підстановкою.
- якщо рівняння гіперболи позитивне (тобто не варто знак -, як у другому і третьому випадку), то графік функції лежить в першій і третій координатної чверті
- якщо перед рівнянням гіперболи стоїть знак - (як в першому випадку), то графік лежить в другій і четвертій чвертях
Таким чином можна відразу визначити, що перше рівняння відповідає графіку під номером 2.
Друге правило, яким я користуюся, звучить так:
- чим більше число в знаменнику гіперболи (поруч з x), тим сильніше гіпербола тулиться до осей координатної площини
- чим більше число в чисельнику рівняння гіперболи, тим слабше і повільніше графік функції притискається до осей
Отже, функція Б слабкіше притискається до осей і їй відповідає графік 3, а функції В відповідає графік 1, так як вона сильніше притискається до осей.
Третій варіант завдання (лінійний графік)
Установіть відповідність між функціями і їх графіками.
Функція являє собою лінійну залежність, а саме рівняння першого порядку виду:
Графік цієї функції залежить від k і b.
- якщо k <0, то функция убывает, то есть линия идет сверху вниз, как на третьем рисунке
- якщо k> 0, то функція зростає, тобто лінія йде від низу до верху, як на перших двох малюнках
- коефіцієнт b визначає зсув по осі y, якщо b <0, то прямая пересекает ось y ниже 0 в точке y = b, если b> 0, то вище нуля в точці y = b
- якщо k> 1, то пряма йде крутіше, ніж звичайна y = x (як на другому і третьому графіку), якщо k <1. то положе, как на примере рисунка №1
Отже, графіку y = 3x відповідає малюнок 2, так як пряма йде від низу до верху і вона крутіша, ніж крива на малюнку 1, якому відповідав би функція y = (1/3) x.
Графіку 3 відповідає функція y = -3x так як k = -3 <0, и график идет сверху вниз.
У п'ятому завданні демонстраційного варіанта ОГЕ з математики про нас вимагають наступне:
Установіть відповідність між графіками функцій і формулами, які їх задають.
Для вирішення даного завдання необхідно знати вид графіків функцій, а саме:
y = x² - парабола, в загальному вигляді це y = ax² + bx + c, але в нашому випадку b = c = 0, а а = 1
x / 2 - пряма, в загальному вигляді графік прямої має вигляд y = ax + b, в нашому випадку b = 0, а = 1/2
y = 2 / x - гіпербола, в загальному вигляді графік функції y = a / x + b, в даному прикладі b = 0, a = 2
Парабола зображена на малюнку А, гіпербола на малюнку Б, а пряма - В.