Вчені вважають, що 38-річний російський математик Григорій Перельман запропонував вірне рішення проблеми Пуанкаре. Про це на науковому фестивалі в Ексетері (Великобританія) заявив професор математики Стенфордського університету Кіт Девлін.
Проблема (її також називають завданням або гіпотезою) Пуанкаре відноситься до числа семи найважливіших математичних проблем, за вирішення кожної з яких Математичний інститут Клея (Clay Mathematics Institute) призначив премію в один мільйон доларів. Саме це і привернуло настільки широку увагу до результатів, отриманих Григорієм Перельманом, співробітником лабораторії математичної фізики Санкт-Петербурзького відділення Математичного інституту імені Стєклова.
проблема Пуанкаре
Проблема Пуанкаре відноситься до області так званої топології многовидів - особливим чином влаштованих просторів, що мають різну розмірність. Двомірні різноманіття можна наочно уявити собі, наприклад, на прикладі поверхні тривимірних тіл - сфери (поверхні кулі) або тора (поверхні бублика).
Легко уявити, що станеться з повітряною кулькою, якщо його деформувати (згинати, скручувати, тягнути, стискати, віджимати, здувати або надувати). Ясно, що при всіх перерахованих вище деформаціях кулька буде змінювати свою форму в широких межах. Однак ми ніколи не зможемо перетворити кульку в бублик (або навпаки) без порушення безперервності його поверхні, тобто не розриваючи. В цьому випадку топологи кажуть, що сфера (кульку) негомеоморфна тору (бублику). Це означає, що дані поверхні можна виводити на екран одну на іншу. Говорячи простою мовою, сфера і тор різні за своїм топологічним властивостями. А поверхня повітряної кульки при всіляких його деформаціях гомеоморфна сфері, так само як поверхня рятівного круга - тору. Іншими словами, будь-яка замкнута двовимірна поверхня, яка не має наскрізних отворів, має ті ж топологічними властивостями, що і двомірна сфера.
ТОПОЛОГІЯ, розділ математики, що займається вивченням властивостей фігур (або просторів), які зберігаються при неперервних деформаціях, таких, наприклад, як розтягнення, стиснення або згинання. Безперервна деформація - це деформація фігури, при якій не відбувається розривів (тобто порушення цілісності фігури) або склеювання (тобто ототожнення її точок).
Топологічних ПЕРЕТВОРЕННЯ однієї геометричної фігури на іншу - є відображення довільної точки Р першої фігури на точку Р` іншої фігури, яке задовольняє наступним умовам: 1) кожній точці Р першої фігури повинна відповідати одна і тільки одна точка Р` другої фігури, і навпаки; 2) Відображення повинно бути взаємно безперервно. Наприклад, є дві точки Р і N, що належать одній фігурі. Якщо під час руху точки Р до точки N відстань між ними прагне до нуля, то відстань між точками Р` і N` іншої фігури теж повинен наближатися до нуля, і навпаки.
Гомеоморфізмом. Геометричні фігури, що переходять одна в іншу при топологічних перетвореннях, називаються гомеоморфними. Коло і межа квадрата гомеоморфні, так як їх можна перевести один в одного топологічним перетворенням (тобто згинанням і розтягуванням без розривів і склеювання, наприклад, розтягуванням кордону квадрата на описану навколо нього коло). Область, в якій будь-яку замкнену просту (тобто гомеоморфними окружності) криву можна стягнути в точку, залишаючись весь час в цій області, називається однозв'язної, а відповідне властивість області - однозв'язного. Якщо ж деяку замкнуту просту криву цій галузі не можна стягнути в точку, залишаючись весь час в цій області, то область називається многосвязной, а відповідне властивість області - багатозв'язна.
Проблема Пуанкаре стверджує те ж саме для тривимірних многовидів (для двомірних різноманіть, таких як сфера, це положення було доведено ще в XIX столітті). Як зауважив французький математик, один із найважливіших властивостей двомірної сфери полягає в тому, що будь-яка замкнута петля (наприклад, ласо), що лежить на ній, може бути стягнута в одну точку, не залишаючи при цьому поверхні. Для тора це справедливо не завжди: петля, що проходить через його отвір, стягнеться в точку або при розломі тора, або при розриві самої петлі. У 1904 році Пуанкаре висловив припущення, що якщо петля може стягуватися в точку на замкнутої тривимірної поверхні, то така поверхня гомеоморфна тривимірної сфері. Доказ цієї гіпотези виявилося надзвичайно складним завданням.
Відразу уточнимо: згадана нами формулювання проблеми Пуанкаре говорить зовсім не про тривимірному кулі, який ми можемо уявити собі без особливих зусиль, а про тривимірну сфері, тобто про поверхні чотиривимірного кулі, який уявити собі вже набагато важче. Але в кінці 1950-х років несподівано з'ясувалося, що з різноманіттям високих розмірностей працювати набагато легше, ніж з трьох-і чотиривимірний. Очевидно, відсутність наочності - далеко не головна трудність, з якою стикаються математики в своїх дослідженнях.
Фахівці вважають, що рішення проблеми Пуанкаре дозволить зробити серйозний крок у математичному описі фізичних процесів в складних тривимірних об'єктах і дасть новий імпульс розвитку комп'ютерної топології. Метод, який пропонує Григорій Перельман, призведе до відкриття нового напряму в геометрії і топології. Петербурзький математик цілком може претендувати на премію Філдса (аналог Нобелівської премії, яку по математиці не присуджують).
Мабуть, для Григорія Перельмана, як для справжнього вченого, гроші - не головне. За рішення будь-якої з так званих "завдань тисячоліття" істинний математик продасть душу дияволу.
список тисячоліття
ЖУЛЬ Анрі Пуанкаре. Фото з сайту www.ibmh.msk.su
1. Проблема Кука (сформульована в 1971 році)
Припустимо, що ви, перебуваючи у великій компанії, хочете переконатися, що там же знаходиться ваш знайомий. Якщо вам скажуть, що він сидить в кутку, то досить буде частки секунди, щоб, кинувши погляд, переконатися в істинності інформації. За відсутності цієї інформації ви будете змушені обійти всю кімнату, розглядаючи гостей. Це говорить про те, що рішення будь-якої задачі часто займає більше часу, ніж перевірка правильності рішення.
ДЕВІД ГИЛБЕРТ. Фото з сайту www.krugosvet.ru
Стівен Кук сформулював проблему: чи може перевірка правильності рішення задачі бути більш тривалою, ніж саме отримання рішення, незалежно від алгоритму перевірки. Ця проблема також є однією з невирішених завдань з області логіки та інформатики. Її рішення могло б революційним чином змінити основи криптографії, використовуваної при передачі і зберіганні даних.
2. Гіпотеза Рімана (сформульована в 1859 році)
Деякі цілі числа не можуть бути виражені як твір двох менших цілих чисел, наприклад 2, 3, 5, 7 і так далі. Такі числа називаються простими і грають важливу роль в чистій математиці і її додатках. Розподіл простих чисел серед ряду всіх натуральних чисел не підпорядковується ніякої закономірності. Однак німецький математик Ріман висловив припущення, що стосується властивостей послідовності простих чисел. Якщо гіпотеза Рімана буде доведена, то це призведе до революційної зміни наших знань в області шифрування і до небаченого прориву в області безпеки Інтернету.
3. Гіпотеза Берча і Свіннертона-Дайера (сформульована в 1960 році)
Пов'язана з описом безлічі рішень деяких алгебраїчних рівнянь від декількох змінних з цілими коефіцієнтами. Прикладом подібного рівняння є вираз x 2 + y 2 = z 2. Евклід дав повний опис рішень цього рівняння, але для більш складних рівнянь пошук рішень стає надзвичайно важким.
4. Гіпотеза Ходжа (сформульована в 1941 році)
У ХХ столітті математики відкрили потужний метод дослідження форми складних об'єктів. Основна ідея полягає в тому, щоб використовувати замість самого об'єкту прості "цеглинки", які склеюються між собою і утворюють його подобу. Гіпотеза Ходжа пов'язана з деякими припущеннями щодо властивостей таких "цеглинок" і об'єктів.
5. Рівняння Нав'є - Стокса (сформульовані в 1822 році)
Якщо плисти в човні по озеру, то виникнуть хвилі, а якщо летіти в літаку, в повітрі виникнуть турбулентні потоки. Передбачається, що ці та інші явища описуються рівняннями, відомими як рівняння Нав'є - Стокса. Рішення цих рівнянь невідомі, і при цьому навіть невідомо, як їх вирішувати. Необхідно показати, що рішення існує і є досить гладкою функцією. Вирішення цієї проблеми дозволить суттєво змінити способи проведення гідро- і аеродинамічних розрахунків.
6. Проблема Пуанкаре (сформульована в 1904 році)
Якщо натягнути гумову стрічку на яблуко, то можна, повільно переміщаючи стрічку без відриву від поверхні, стиснути її до точки. З іншого боку, якщо ту ж саму гумову стрічку відповідним чином натягнути навколо бублика, то ніяким способом неможливо стиснути стрічку в точку, не пориваючи стрічку або не ламаючи бублик. Кажуть, що поверхня яблука однозв'язна, а поверхня бублика - немає. Довести, що однозв'язна тільки сфера, виявилося настільки важко, що математики шукають правильну відповідь до сих пір.
7. Рівняння Янга - Міллса (сформульовані в 1954 році)
Рівняння квантової фізики описують світ елементарних частинок. Фізики Янг і Міллс, виявивши зв'язок між геометрією і фізикою елементарних частинок, написали свої рівняння. Тим самим вони знайшли шлях до об'єднання теорій електромагнітного, слабкого і сильного взаємодій. З рівнянь Янга - Міллса слід існування частинок, які дійсно спостерігалися в лабораторіях в усьому світі, тому теорія Янга - Міллса прийнята більшістю фізиків незважаючи на те, що в рамках цієї теорії досі не вдається передбачати маси елементарних частинок.