Дисперсія, зважена за частотою варіантів. дорівнює
Середнє квадратичне відхилення дорівнює:
коефіцієнт варіації становить
Завдання 2. На підприємстві 64% працівників мають середню і вищу освіту. Визначити дисперсію частки робітників, що мають середню і вищу освіту.
Рішення. Дисперсія альтернативної ознаки визначається як = pq, де p - частка одиниць сукупності, що володіють даними ознакою, а q = 1-p - частка одиниць сукупності, що не володіють даними ознакою, отже: = 0,64 · 0,36 = 0,2304.
Завдання 3. Є такі дані (табл.5.6):
Групи робітників за професіями
Середню заробітну плату по кожній групі і для всіх робітників визначаємо за формулою середньої арифметичної простої:
Внутрішньо групові дисперсії обчислюємо за формулою:
Середня з внутрішньогрупових дисперсій дорівнює:
Межгрупповая дисперсія визначається як:
За правилом додавання дисперсій загальна дисперсія дорівнює сумі середньої внутрішньогрупових і груповий дисперсії: s 2 = 2 + d 2 = 1140 + 496 = 1636.
Завдання 4. Середня успішність студентів економічного факультету = 4 бали, Мо = 4,8 бала, Ме = 4,2 бала. Вказати, симетричним або асиметричним є розподіл студентів по успішності. Якщо асиметричним, то з якою асиметрією (лівосторонньої або правобічної).
Рішення. У симетричному розподілі = Мо = Ме. У нашій задачі такої рівності немає. Отже, розподіл асиметрично, а так як <Ме<Мо, то разности между –Ме и –Мо отрицательные и асимметрия левосторонняя.
Завдання 5. Урожайність цукрових буряків в сільгосппідприємствах області характеризується наступними показниками: = 300 ц / га, = 120 ц / га, Мо = 240 ц / га, а урожайність зернових - = 30ц / га; = 10 ц / га, Мо = 27 ц / га. Обчислити показники асиметрії і вказати де вона більше. Який напрям асиметрії?
Асиметрія правобічна, так як> 0, і більше в першому випадку.
Завдання 6. Центральний момент третього порядку = 34,56 при = 12. Обчислити коефіцієнт асиметрії і зробити висновки; центральний момент четвертого порядку = 64,32 при = 2. Обчислити коефіцієнт ексцесу і зробити висновки.
Асиметрія правобічна, так як A> 0, і незначна
Ексцес вище нормального, тому що E> 3.
РОЗДІЛ 6. ВИБІРКОВЕ СПОСТЕРЕЖЕННЯ
6.1. Загальні відомості про вибіркове спостереження
У зв'язку з тим, що статистика має справу з масовими сумами статистичні дослідження вельми трудомісткі. Тому давно виникла думка про заміну суцільного спостереження вибірковим.
Вибіркове спостереження - це найбільш досконалий спосіб несплошного спостереження, при якому обстежується не вся сукупність, а лише її частина, відібрана за певними правилами вибірки і забезпечує отримання даних, що характеризують всю сукупність в цілому.
При проведенні вибіркового спостереження можна отримати абсолютно точні дані. Як при суцільному, так як при вибірковому спостереженні неминучі помилки, які діляться на помилки реєстрації та помилки репрезентативності. У свою чергу, помилки репрезентативності бувають випадкові і систематичні.
Однією з умов застосування вибіркового методу є правильний відбір одиниць сукупності, а саме:
а) строго об'єктивний відбір одиниць сукупності, при якому кожна з них отримувала б абсолютно однакову можливість потрапити до вибірки;
б) достатня кількість відібраних одиниць сукупності. При дотриманні цих умов вибірка буде репрезентативною або представницької.
Вся сукупність одиниць, з якої проводиться відбір, називаетсягенеральной сукупністю і позначається буквойN. Частина генеральної сукупності, що потрапила у вибірку, називаетсявиборочной сукупністю і позначається n.
Узагальнюючі показники генеральної сукупності - середня, дисперсна і частка - називаються генеральними і відповідно позначається # 963 ;, р. гдеp - частка або ставлення числа одиниць сукупності М. володіють даними ознакою до всієї чисельності генеральної сукупності, тобто . Ті ж узагальнюючі характеристики в вибіркової сукупності позначаються відповідно. 2. # 969 ;.
Теоретичною основою вибіркового методу є теорема П.Л.Чебишева, яка формулюється так: з імовірністю, як завгодно близькою до одиниці (достовірності), можна стверджувати, що при достатньо великому обсязі вибірки та обмеженою дисперсії генеральної сукупності різниця між вибіркової середньої і генеральної середньої буде як завгодно мала:
При практичному використанні теореми Чебишева генеральну дисперсію. яка невідома, замінюють вибіркової дисперсією.
6.2. Види і схеми відбору
Формування вибіркової сукупності з генеральної може здійснюватися по-різному. Розрізняють такі види відбору: власне-випадковий; механічний; типовий; серійний; комбінований.
5. Власне-випадковий відбір. Він орієнтований на вибірку одиниць з генеральної сукупності без всякого розчленування її на частини або групи. Або застосовується жеребкування, або використовуються таблиці випадкових чисел.
6. Механічний відбір. Він полягає в тому, що відбір одиниць у вибіркову сукупність проводиться з генеральної сукупності, розбитою на рівні інтервали (групи), причому всі одиниці генеральної сукупності повинні розташовуватися в певному порядку. Розмір інтервалу або групи дорівнює зворотній величині частки вибірки (або кількості відбираються одиниць). З кожної групи (інтервалу) береться тільки одна одиниця. Так, при 2% -ної вибірці відбирається кожна 50-а одиниця (1: 0,02; або формується 50 груп або інтервалів), при 20% -ної вибірці - кожна 5-а одиниця (1: 0,2) і т . д.
7. Типовий відбір. При його здійсненні вся генеральна сукупність ділиться на групи по типового ознакою, а потім в кожній групі проводиться той чи інший відбір. Найбільш часто з кожної групи вибирається кількість одиниць, пропорційне питомій вазі групи в загальній сукупності і як правило - механічним добором. Такий відбір часто називають пропорційним типовим відбором з механічною вибіркою.
8. Серійний відбір з рівновеликими серіями полягає у вибірці не окремих одиниць генеральної сукупності, а цілих серій (гнізд). Потрапили у вибірку серії піддаються суцільному спостереженню. Самі серії можуть формуватися різними методами і способами.
9. Комбінований відбір. Всі перераховані вище види відбору комбінуються між собою.
Використовуючи різні види відбору, можна застосувати і різні схеми відбору: бесповторний відбір (схема неповерненого кулі) - після вибору будь-якої одиниці вона назад в генеральну сукупність не потрапляє, і не може бути обрана знову; повторний відбір (схема повернутого кулі) - після вибору будь-якої одиниці вона знову повертається в генеральну сукупність і може бути обрана знову.
6.3. Визначення середніх і граничних помилок при
різних видах відбору
Помилка вибірки - різниця між характеристиками вибіркової і генеральної сукупності.
Якщо є межа, якого не перевищує абсолютна величина то
Помилка вибірки залежить від багатьох факторів, і, якщо з однієї і тієї ж генеральної сукупності можна сформувати безліч вибіркових сукупностей, кожна з них дасть і свою помилку. Тому при вибірковому спостереженні говорять про середню з можливих помилок (середня або стандартна похибка вибірки), яку позначають як.
Величина прямо пропорційна кореню квадратному з дисперсії і обернено пропорційна квадратному кореню з обсягу вибіркової сукупності;
Ці формули справедливі для повторної схеми відбору. При бесповторном відборі вводиться поправочний коефіцієнт, що дорівнює
У тих випадках, коли вибірка невелика цим множником можна знехтувати, так як його значення близьке до одиниці (зазвичай при).
Для вирішення практичних завдань важлива не середня помилка вибірки, а межі, за які вона не вийде, тобто кажуть про граничну помилку вибірки.
Гранична помилка вибірки пов'язана із середньою помилкою співвідношенням. гдеt - коефіцієнт довіри, іліt - статистика; t приймає значення 1, 2 або 3 і пов'язаний з ймовірністю досягнення заданої межі. Якщо t = 1 це означає, що ймовірність того, що помилка вибірки не перевищить заданого значення, дорівнює 0,683 або 68,3%. При t = 2 - P = 0,954 або 95,4%; t = 3 - P = 0,997 або 99,7%.
Таким чином, гранична помилка вибірки залежить від трьох чинників: дисперсії. обсягу вибірки n. і коефіцієнта доверіяt. Формули для визначення граничних помилок при різних видах і схемах відбору наведені в табл. 6.1.
Визначення граничної помилки вибірки при різних видах відбору
6.4. Визначення необхідної чисельності вибірки
При розробці вибіркового спостереження припускають заздалегідь заданими величину допустимої помилки вибірки та ймовірність відповіді (і t). Невідомим, отже, залишається той мінімальний обсяг вибірки, який повинен забезпечити необхідну точність. З формули і формул граничних помилок вибірки встановлюємо необхідну чисельність вибірки. Формули для визначення чисельності вибірки n залежать від способу відбору (табл.6.2).
Формули розрахунку чисельності вибірки при власне-випадковому відборі
Для частки, якщо навіть приблизно вона невідома
Чисельність вибірки можна виразити через відношення. тобто граничну похибку вибірки висловлюють в одиницях середнього квадратичного відхилення. Так, наприклад, формула чисельності бесповторной власне-випадкової вибірки для середньої при t = 3 набуде вигляду.
Для типового і серійного відбору обсяг вибірки визначається за спеціальними формулами.