Промисловий лізинг Методички
Математичні основи фішшсового менеджменту
Чітке уявлення про базові поняття фінансової математики необхідно для розуміння всього подальшого матеріалу. Головне з таких понять - процентні гроші (далі - відсотки), визначення яких становить сутність більшості фінансових розрахунків.
Відсотки - це дохід від надання капіталу в борг у різних формах (позички, кредити і т. Д.), Або від інвестицій виробничого чи фінансового характеру.
Процентна ставка - це величина, що характеризує інтенсивність нарахування відсотків.
Величина одержуваного доходу (т. Е. Відсотків) визначається виходячи з величини вкладеного капіталу, терміну, на який він надається в борг або інвестується, розміру і виду відсоткової ставки (ставки прибутковості).
Нарощення (зростання) початкової суми боргу - це збільшення суми боргу за рахунок приєднання нарахованих відсотків (доходу).
Множник (коефіцієнт) нарощення - це величина, що показує, у скільки разів зріс первісний капітал.
Період нарахування - це проміжок часу, за який нараховуються відсотки (виходить дохід). Надалі будемо вважати, що період нарахування збігається з терміном, на який надаються гроші. Період нарахування може розбиватися на інтервали нарахування.
Інтервал нарахування - це мінімальний період, по закінченні якого відбувається нарахування відсотків.
Існують дві концепції і, відповідно, два способи визначення і нарахування відсотків.
Декурсівних спосіб нарахування відсотків. Відсотки нараховуються в кінці кожного інтервалу нарахування. Їх величина визначається виходячи з величини наданого капіталу. Відповідно декурсівних процентна ставка, або, що те ж, позичковий відсоток, являє собою виражене у відсотках відно
шення суми нарахованого за визна / генний інтервал доходу до суми, наявної на початок даного інтервалу.
Антисипативному спосіб (попередній) нарахування відсотків. Відсотки нараховуються на початку кожного інтервалу нарахування. Сума процентних грошей визначається виходячи з нарощеної суми. Процентною ставкою буде виражене у відсотках відношення сулши доходу, виточують за певний інтервал, до величини нарощеної сулши, отриманої після цього UHmepecLia. Обумовлена таким способом процентна ставка називається (в широкому сенсі слова) обліковою ставкою або антисипативному відсотком.
У світовій практиці декурсівних спосіб нарахування відсотків набув найбільшого поширення. У країнах розвиненої ринкової економіки антисипативному метод нарахування відсотків застосовувався, як правило, в періоди високої інфляції.
При обох способах нарахування відсотків відсоткові ставки можуть бьггь або простими (якщо вони застосовуються до однієї і тієї ж початкової грошовій сумі протягом усього періоду нарахування), або складними (якщо по закінченні кожного інтервалу нарахування вони застосовуються до суми боргу і нарахованих за предьщущего інтервали відсотків ).
\ J В українській практиці поняття позичкового відсотка і облікової ставки зазвичай не відрізняються і позначаються збірним терміном процентна ставка (термін облікова ставка можна також зустріти стосовно ставкою рефінансування Центрального банку і до вексельних операціях).
У зв'язку з цим необхідно підкреслити, що в міру розвитку ринкових відносин питання відмінності декурсівних і антисипативного методів нарахування набуває все більшої актуальності.
Фінансисту - інвестору чи (вкладнику), позичальникові чи коштів - в будь-якому випадку необхідно мати уявлення про спосіб нарахування відсотків, маємо на увазі в кожній конкретній угоді, тим більше, що при укрупненні масштабів операції кожен процерггний пункт стає все важче і важче.
У наступних розділах будуть наведені обчислення і наведено приклади і графіки, які наочно демонструють, наскільки відчуй-a.Iмі можуть бути відмінності в результатах при різних способах нарахування відсотків. Нерозуміння відмінності між видами
процентних ставок може при цьому вилитися не тільки в упущену вигоду, а й в значних збитків.
2.1. Прості ставки позичкових відсотків
Прості ставки позичкових (декурсівних) відсотків застосовуються зазвичай в короткострокових фінансових операціях, коли інтервал нарахування збігається з періодом нарахування (і складає, як правило, термін менше одного року), або коли після кожного інтервалу нарахування кредитору виплачуються відсотки. Природно, прості ставки позичкових відсотків можуть застосовуватися і в будь-яких інших випадках за домовленістю беруть участь в операції сторін.
Введемо наступні позначення: / (%) - проста річна ставка позичкового відсотка; / - відносна величина річної ставки відсотків; / Г - сума процентних грошей, виплачуваних за рік; / - загальна сума процентних грошей за весь період нарахування;
Р - величина первісної грошової суми; S - нарощена сума;
- коефіцієнт нарощення; п - тривалість періоду нарахування в роках; д - тривалість періоду нарахування в днях; К - тривалість року в днях.
Величина К є тимчасовою базою для розрахунку відсотків.
Залежно від способу визначення тривалості фінансової оперции розраховується або точний, або звичайний (комерційний) відсоток.
Дата вьщачі і дата погашення позики завжди вважаються за один день. При цьому можливі два варіанти:
варіант Г. використовується точне число днів позики, що визначається за спеціальною таблицею, де показані порядкові номери кожного дня року; з номера, що відповідає дню закінчення позики, віднімають номер першого дня;
варіант 2: береться приблизне число днів позики, коли тривалість повного місяця приймається рівною 30 дням; цей метод використовується, котда не потрібно велика точність, наприклад, при частковому погашенні позики.
Точний відсоток отримують, коли за тимчасову базу беруть фактичне число днів в році (Зб5 або 366) і точне число днів позики
Наведеним вище визначенням відповідають формули:
Застосовуючи послідовно формули (1.4), (1.3), (1.2) і (1.6), отримуємо основну формулу для визначення нарощеної суми *:
На практиці часто виникає зворотна задача: дізнатися величину суми Р, яка в майбутньому повинна скласти задану величину 5. У цьому випадку Р називається сучасною (поточної, справжньою **, наведеної) величиною суми S.
Визначення сучасної величини Р нарощеної суми S називається дисконтуванням, а визначення величини нарощеної суми S - компаундінг.
У застосуванні до ставки позичкового відсотка може також зустрітися назву математичне дисконтування, несумісне, до речі товори, з обліковими ставками, які будуть розглядатися в наступному розділі.
З формули (1.7) отримуємо формулу, відповідну операції дисконтування:
* У літературі нерідко можна зустріти синоніми тер \ шна нарощена сума. майбутня сума. майбутня вартість грошей (від англ. РіШге Value of Money) і т. п.
** Від англ. Present Value of Money.
Перетворюючи формулу (1.7) (т. Е. Замінюючи входять до неї вираження на еквівалентні і висловлюючи одні величини через інші), отримуємо ще кілька формул для визначення невідомих величин в різних випадках:
Іноді на різних інтервалах нарахування застосовуються різні процентні ставки. Якщо на послідовних інтервалах нарахування І], 2, / V використовуються ставки відсотків /], / уу то за формулами (1.2) і (1.3) сума процентних грошей в кінці першого інтервалу складе
в кінці другого інтервалу:
При N інтервалах нарахування наращейная сума складе
Для множітеед даращенія, следовател4! 1і. маємо,
Розглянемо кілька прикладів, що відповідають різним наборам вихідних даних.
Позика в розмірі 50 ТОВ руб. вьщана на півроку за простою ставкою відсотків 28% річних. Визначити нарощену суму. Рішення
5 = 50 ТОВ (1 + 0,5 0,28) = 57 ТОВ (руб.).
1. У разі точних відсотків беремо д = 284. За формулою (1.8) отримуємо
5 = 10 ТОВ ТОВ (1 + 284/366 0,30) = 12 327 868 (руб.).
2. Для звичайних відсотків з точним числом днів позички маємо
5 = 10 ТОВ ТОВ (1 + 284/360 0,30) = 12 366 666 (руб.).
3. Для звичайних відсотків з наближеним числом днів позики
5 = 10 ТОВ ТОВ (І-280/360 0,30) = 12 333 333 (руб.).
Кредит у розмірі 20 ТОВ ТОВ руб. вьщается на 3,5 року. Ставка відсотків за перший рік - 30%, а за кожне наступне півріччя вона уменьщается на 1%. Визначити множник нарощення і нарощену суму.
= 1 + 0,3 + 0,5 (0,29 + 0,28 -Ь 0,27 + 0,26 + 0,25) = 1,975. За формулою (1.14):
5 = 20 ТОВ ТОВ 1,975 = 39 500 ТОВ (руб.).
Визначити період нарахування, за який початковий капітал в розмірі 25 ТОВ ТОВ руб. виросте до 40 ТОВ ТОВ руб. якщо використовується проста ставка відсотків 28% річних.
За формулою (1.10) отримуємо
і = (40 ТОВ ТОВ - 25 ТОВ 000) / (25 ТОВ ТОВ 0,28) = 2,14 року. приклад 5
Визначити просту ставку відсотків, при якій первісний капітал в розмірі 24 ТОВ ТОВ руб. досягне 30 ТОВ ТОВ руб. через рік.
За формулою (1.13) визначаємо / = (30 ТОВ ТОВ - 24 ТОВ 000) / (24 ТОВ ТОВ 1) = 0,25 = 25%.