в рамках елективного курсу
«За сторінками підручника математики»
для учнів 10-11 класів
«Математику називають тавтологічне наукою: іншими словами, про математиків кажуть, що вони витрачають час на доказ того, що предмети рівні самим собі. Це твердження дуже неточно з двох причин. По-перше, математика, незважаючи на властивий їй науковий мову, не є наукою; скоріше її можна назвати мистецтвом. По-друге основні результати математики частіше виражаються нерівностями, а не равенствами. »
Нерівності використовуються в практичній роботі математика постійно. Вони застосовуються для отримання ряду цікавих і важливих екстремальних властивостей «симетричних» фігур: квадрата, куба, рівностороннього трикутника, а також для доказу збіжності ітераційних процесів і обчислення деяких меж. Важлива роль нерівностей і в різних питаннях природознавства і техніки.
Завдання на доказ нерівностей найважчі і цікаві з традиційних. Докази нерівностей вимагають істинної винахідливості, творчості, які роблять математику тим захоплюючим уяву предметом, яким вона є.
Навчання доказам відіграє велику роль у розвитку дедуктівно- математичного мислення і загальних розумових здібностей учнів. Як же навчити школярів самостійно проводити докази нерівностей? Відповідь говорить: тільки шляхом розгляду багатьох прийомів і методів доказів і регулярного їх застосування.
Застосовувані для доказу нерівностей ідеї майже настільки ж різноманітні, як і самі нерівності. У конкретних ситуаціях загальні методи часто призводять до негарним рішенням. Але неочевидне комбінування декількох «базових» нерівностей вдається лише небагатьом школярам. І, крім того, ніщо не заважає учневі в кожному конкретному випадку пошукати краще рішення, ніж отримане загальним методом. З цієї причини докази нерівностей нерідко відносять до області мистецтва. І як у всякому мистецтві тут є свої технічні прийоми, набір яких досить широкий і оволодіти всіма дуже складно, але кожен учитель повинен прагне до розширення наявного в його запасі математичного інструменту.
Даний модуль рекомендується для учнів 10-11 класів. Тут розглядаються не всі можливі методи докази нерівностей (незачеплені метод заміни змінної, доказ нерівностей за допомогою похідної, метод дослідження і узагальнення, прийом упорядкування). Запропонувати розглянути інші методи можна на другому етапі (наприклад, в 11 класі), якщо даний модуль курсу викличе інтерес у учнів, а також орієнтуючись на успіхи засвоєння першої частини курсу.
Доведення нерівностей -увлекательная і непроста тема елементарної математики. Відсутність єдиного підходу до проблеми докази нерівностей, призводить до пошуку ряду прийомів, придатних для доказу нерівностей певних видів. На даному елективної курсі розглядатимуться наступні методи докази нерівностей:
1.Доказательство нерівностей на підставі визначення.
2.Метод математичної індукції.
3.Застосування класичних нерівностей.
5.Методи від противного.
6.Прі розгляду нерівностей щодо однієї з змінних.
Визначення: Кажуть, що дійсне число a більше (менше) дійсного числа b, якщо їх різниця a-b-позитивний (негативний) число.
Якщо a> b і b> c, то a> c.
Якщо a> b. то a + c> b + c.
Якщо a> b і m> 0, то am> bm.
Якщо a> b і m b і b> c, то a> c.
Якщо a> b і c> d, то a + c> b + d.
Якщо a> b і c> d, то ac> bd, a, b, c, d> 0.
Якщо a> b. то a n> b n, a, b 0,.
Якщо a> b. то a n> b n, n-непарне.
Провести докази деяких властивостей.
1) (нерівність Коші)
Нерівність (1) називають на честь французького математика Огюста Коші. Число називають середнім арифметичним чисел a і b;
число називають середнім геометричним чисел a і b. Таким чином, нерівність означає, що середнє арифметичне двох позитивних чисел не менше їх середнього геометричного.
Розглянути кілька математичних софізмів з нерівностями.
Математичний софізм - дивовижне твердження, в доказі якого криються непомітні, а часом і досить тонкі помилки.
Софізми - це помилкові результати, отримані за допомогою міркувань, які тільки здаються правильними, але обов'язково містять ту чи іншу помилку.
Чотири більше дванадцяти
Урок2.Доказательство нерівностей на підставі визначення.
Суть цього методу полягає в наступному: для того щоб встановити справедливість нерівності F (x, y, z)> S (x, y, z) складають різницю F (x, y, z) -S (x, y, z) і доводять, що вона позитивна. Застосовуючи цей метод, часто виділяють квадрат, куб суми або різниці, неповний квадрат суми або різниці. Це допомагає визначити знак різниці.
Приклад. Довести нерівність (x + y) (x + y + 2cosx) +2 2sin 2 x
Розглянемо різницю (x + y) (x + y + 2cosx) +2 - 2sin 2 x = (x + y) (x + y + 2cosx) + 2cos 2 x = (x + y) (x + y + 2cosx) + cos 2 x + cos 2 x = (x + y) 2 +2 (x + y) cosx + cos 2 x + cos 2 x = ((x + y) + cosx) 2 + cos 2 x 0.
Завдання для роботи в класі і вдома
Урок3.Метод математичної індукції.
При доказі нерівностей, в які входять натуральні числа часто вдаються до методу математичної індукції. Метод полягає в наступному:
1) перевіряємо істинність теореми для n = 1;
2) допускаємо, що теорема вірна для деякого n = k, і виходячи з цього припущення доводимо істинність теореми для n = k + 1;
3) на підставі перших двох кроків і принципу математичної індукції укладаємо, що теорема вірна для будь-якого n.
1) при n = 2 нерівність вірно:
2) Нехай нерівність вірно для n = k тобто (*)
Доведемо, що нерівність вірно при n = k + 1, тобто . Помножимо обидві частини нерівності (*) на одержимо 3) З п1.і п.2 робимо висновок, що нерівність вірно для будь-якого n.
Завдання для роботи в класі і вдома
Урок4. Застосування класичних нерівностей.
Суть цього методу полягає в наступному: за допомогою ряду перетворень виводять необхідну нерівність за допомогою деяких класичних нерівностей.
В якості опорного нерівності використовуємо.
Наведемо таку нерівність до наступного вигляду:
Завдання для роботи в класі і вдома.
1) (p + 2) (q + 2) (p + q) 16pq (для док-ва використовується нерівність)
2) (для док-ва використовується нерівність)
3) (a + b) (b + c) (c + a) 8abc (для док-ва використовується нерівність)
4) (для док-ва використовується нерівність).
Урок5. Графічний метод.
Доведення нерівностей графічним методом полягає в наступному: якщо доводимо нерівність f (x)> g (x) (f (x) 0
Урок6.Метод від противного
Суть цього методу полягає в наступному: нехай потрібно довести істинність нерівності F (x, y, z) S (x, y, z) (1). Припускають противне, т. Е що хоча б для одного набору змінних справедливо нерівність F (x, y, z) S (x, y, z) (2). Використовуючи властивості нерівностей, виконують перетворення нерівності (2). Якщо в результаті цих перетворень виходить хибне нерівність, то це означає, що припущення про справедливість нерівності (2) невірно, а тому вірно нерівність (1).
Припустимо гидке, т. Е.
Зведемо обидві частини нерівності в квадрат, отримаємо, звідки і далі
. Але це суперечить нерівності Коші. Значить наше припущення невірно, т. Е справедливо нерівність
Завдання для роботи в класі і вдома.
cos 36 0> tg 36 0.
Урок7. Прийом розгляду нерівностей щодо однієї з змінних.
Суть методу полягає в розгляді нерівності і його рішення щодо однієї змінної.
Розглянемо нерівність щодо змінної x.
Розглянемо функцію, графіком якої є парабола, гілки якої спрямовані вгору.
, т. е нерівність вірно для будь-яких x і y.
Завдання для роботи в класі і вдома.
Урок8. ідея посилення
Суть цього методу можна розкрити на підставі наступного твердження:
Схожі документи:
поняття довести нерівність. методидоказательствнеравенств. Вміти: доводити нерівності. Знати: поняття довести нерівність. методидоказательствнеравенств. Вміти: доводити нерівності. Знати.
осмислити властивості і їх докази. учитель розвиває геометричну інтуїцію. рівнянь Раціональні нерівності і системи неравенствМодулі. Рівняння і нерівності з модулемМодулі. Рівняння і нерівності з модулем Логарифми Логарифмічні.
Поняття модуля дійсного числа. Арифметичне і геометричне визначення модуля. Розкриття модулів. нерівності. Доказательствонеравенств. Рішення лінійних, квадратних, дробово-раціональних нерівностей з однією змінною. Рішення нерівностей.
продемонструвати методидоказательства трохи складніших нерівностей за допомогою цього простого нерівності. Отже, в цій міністерській програмі.