Точка переміщається в просторі за заданим рівнянням руху S = f (t) (рис. 2.12).
Проведемо в точці М кривої АВ стикається площину, нормальну площину. перпендикулярну дотичної площині, і спрямляются площину. перпендикулярну дотичної і нормальної площинах. Перетином трьох площин утворений природний тригранників.
Лінію перетину дотичної і нормальної площин називають головною нормаллю.
Лінію перетину спрямляются і дотичної площин називають дотичній.
Лінію перетину спрямляются і нормальної площин називають бінормаль.
Природними координатними осями називають три взаємно перпендикулярні осі: дотична (одиничний вектор # 964; завжди спрямований у бік зростання дугового координати S); головна нормаль (одиничний вектор n спрямований в бік угнутості траєкторії); бінормаль (одиничний вектор b перпендикулярний векторам # 964; іn і спрямований так само, як і вектор k по відношенню до векторів i. j в правій декартовій системі відліку OXYZ) (рис. 2.13).
Якщо в правій системі відліку OXYZ дивитися на одиничні вектори I. j з позитивного напрямку осі OZ (назустріч вектору k), то для збігу напрямків векторів i. j вектор i необхідно повертати проти годинникової стрілки. За таким же правилом орієнтуються в просторі вектори # 964 ;. n. b.
Початок природних координатних осей завжди розташовується в точці (див. Рис. 2.12) і при русі по траєкторії переміщується разом з нею. Природні координатні осі, залишаючись взаємно перпендикулярними, змінюють свій напрямок в просторі. Отже, природні координатні осі утворюють рухливу систему відліку (ПСО).
Розглянемо рух точки на площині OXY (рис. 2.14).
На рис. 2.14 орт # 964; і n розташовані в дотичної площині, а орт b непомітний, так як він перпендикулярний ортам # 964; і n і площині малюнка.
Головна нормаль завжди проходить через центр кривизни траєкторії руху точки. тут # 961; - радіус кривизни траєкторії руху. При русі точки по колу радіусом R радіус кривизни траєкторії # 961; = R. При русі точки по прямій лінії # 961; =. В інших випадках при русі точки по криволінійній траєкторії радіус її кривизни є змінною величиною.
Швидкість точки при природному способі завдання руху визначається за формулою
де dS / dt = - проекція швидкості V на дотичну.
Символ (·) означає одноразове диференціювання функції S = f (t) за часом.
Таким чином, проекція швидкості на дотичну дорівнює першої похідної за часом від рівняння руху S = f (t).
В даному навчально-методичному посібнику проекцію швидкості V на дотичну прийнято позначати.
Як відомо, вектор V швидкості точки завжди направлений по дотичній до траєкторії руху.
Проекція швидкості на дотичну може бути позитивною, негативною і рівною нулю.
Якщо в деякий момент часу> 0, то в цей момент функція S = f (t) зростає, т. Е. Точка рухається в бік збільшення дугового координати S і напрямок вектора швидкості V збігається з напрямком орта # 964; (Див. Рис. 2.14).
якщо <0, то в этот момент времени функция S убывает и, следовательно, направление скорости V противоположно направлению орта τ .
Якщо, безперервно змінюючись, при переході через значення = 0 змінює знак, то дугова координата S досягає максимуму або мінімуму, т. Е. Змінюється напрямок руху точки.
Модуль швидкості V знаходять за формулою V = | |.
Прискорення а точки завжди направлено в сторону угнутості траєкторії руху, лежить в дотичній площині (див. Рис. 2.14) і знаходиться за формулою
Прискорення точки дорівнює геометричній сумі двох векторів, один з яких спрямований по головній нормалі і називається нормальним прискоренням, а інший направлений по дотичній і називається дотичним прискоренням.
Дотичне аo # 964; і нормальне аon прискорення називають також компонентами прискорення по природним координатним осях.
Дотичне прискорення аo # 964; характеризує швидкість зміни величини швидкості V і знаходиться за формулою
де = d2 S / dt 2 = - проекція прискорення a точки на дотичну.
Таким чином, проекція прискорення точки на дотичну дорівнює другій похідній за часом від дугового координати S = f (t) або першої похідної за часом від проекції швидкості на дотичну.
Символ (··) означає подвійне диференціювання функції S = f (t) за часом.
З наведених позначень проекцій прискорення на дотичну, як правило, використовують позначення.
Ця проекція () має знак (+), якщо напрямку дотичного прискорення аo # 964; і орта # 964; збігаються, і знак (-), якщо вони протилежні за напрямками.
Дотичне прискорення аo # 964; характеризує швидкість зміни величини швидкості.
Нормальне прискорення аon характеризує швидкість зміни напрямку швидкості і знаходиться за формулою
Так як / # 961;> 0, то нормальне прискорення завжди збігається з напрямком орта n. т. е. завжди направлено до центру кривизни траєкторії руху точки.
При прямолінійному русі точки радіус кривизни траєкторії руху # 961; = І, отже, аon = / # 961; = / = 0.
Таким чином, нормальне прискорення існує тільки при криволінійному русі.
У разі природного способу завдання руху, коли відома траєкторія точки, а, отже, її радіус кривизни # 961; в будь-якій точці і рівняння руху S = f (t), можна знайти проекції прискорення точки на природні координатні осі і по ним визначити модуль і напрямок прискорення за формулами:
Модулі швидкості і прискорення точки при природному і координатном способах завдання руху точки зв'язані наступними залежностями: