З усіх завдань на відносність руху ми будемо в основному вирішувати такі, які пов'язані з законом додавання швидкостей (1.30.7) або (1.30.8). Для цього зручно використовувати поняття абсолютного, відносного і переносного рухів. Вирішуючи завдання, слід вибрати дві системи координат і одну з них умовно прийняти за нерухому, після чого усвідомити, яка швидкість буде абсолютною, переносний і відносній. Далі треба записати закон складання швидкостей (1.30.8). Після цього можна переходити до запису цього закону в проекціях на вибрані напрямки осей координат. Але можна воспользо-тися і геометричним складанням векторів.
Ми розглянемо кілька завдань, причому в більшості випадків наведемо два рішення з різним вибором нерухомої системи відліку. При цьому переконаємося, що не має принци-пово значення, яку систему вважати нерухомою. Однак в деяких випадках вдалий вибір нерухомої системи відліку спрощує рішення (завдання 5).
завдання 1
Ділянка шосе розташований паралельно залізниці. Знайдіть час, протягом якого мотоцикліст, який рухається зі швидкістю 1 ^ = 80 км / год, буде переміщатися повз зустрічного поїзда довжиною I = 700 м, наступного зі швидкістю v2 = 46 км / год. Обидві швидкості задані відносно Землі.
Рішення. 1. Якщо мотоцикліст рухається щодо поїзда з деякою швидкістю v, то шлях, рівний довжині поїзда, він пройде за час
t = 1.
V
Довжина поїзда відома. Швидкість мотоцикліста щодо поїзда знайдемо за законом додавання швидкостей: Ба = DOT + vn.
Нерухому систему координат XOY зв'яжемо із Землею, а рухому XjOjYj - з поїздом (рис. 1.95). рух
Мал. 1.96
мотоцикліста щодо Землі (нерухомої системи координат XOY) є абсолютним, а рух поїзда відносно Землі - переносним. Швидкість мотоцикліста щодо поїзда (рухомий системи координат Х1 ОгУг) є відносною. Отже, в даному випадку: Йа = и1, vn = v2 і voT = v. Тому закон складання швидкостей можна записати так:
v1 = V + v2.
Звідси v = Uj - Д2. Виконаємо віднімання векторів геометрично. З малюнка 1.96 видно, що v = v1 + v2, тому t =
= 20 с.
+ V2 2. Вирішимо ту ж задачу, змінивши вибір систем координат: нерухому систему координат XOY зв'яжемо з поїздом, а рухому X101Yl - з Землею. Тепер в системі координат XOY Земля рухається назустріч потягу зі швидкістю v3 = -v2.
v3 = -v2 ХХ
т. е. переносна швидкість vn = -v2 (рис. 1.97). Мотоцикліст пе-ремещаться щодо рухомої системи координат (Землі). Тому його швидкість в даному випадку є відноси-котельної: іот = vv Швидкість же мотоцикліста щодо сис-теми координат XOY (поїзда) - абсолютна, т. Е. Va = v.
Відповідно до закону складання швидкостей матимемо va = vm + + ип або v = v1 - v2. Ми прийшли до того ж результату, що і при першому способі вибору систем координат. Результат вичі-вання векторів знову такий же, як на малюнку 1.96. Тому v = vl + v2 і t = 20 с.
3. Можна нерухому систему координат пов'язати з мото-циклістів, а рухому із Землею. Розгляньте самостійно цей варіант рішення. Безумовно, ви прийдете до того ж результату.
завдання 2
Краплі дощу падають відносно Землі прямовисно зі швидкістю v ^ = 20 м / с. З якою найменшою швидкістю v2 щодо Землі повинен рухатися автомобіль, щоб на задньому оглядовому склі, нахиленому під кутом 45 ° до горизонту, не залишалося слідів крапель? Чому дорівнює швидкість крапель щодо автомобіля? Завихрення повітря не враховувати.
Рішення. 1. Краплі дощу не будуть зачіпати скла автомобіля, якщо вектор швидкості крапель щодо автомобіля на-правлю паралельно склу. Цим визначається мінімальна швидкість автомобіля. Щоб знайти її, скористаємося законом додавання швидкостей:
= Йот + К
Систему координат XOY зв'яжемо із Землею і будемо вважати її нерухомою. Рухому систему координат Xl01Yl зв'яжемо з автомобілем (рис. 1.98). Позначимо швидкість крапель щодо автомобіля через та. тоді
К = К ^ від = У. К = h-
Отже, закон додавання швидкостей запишеться так:
vl = V + v2.
A v2 В
A
V2 01 'Xi
про
X
Мал. 1.99
X Віднімання векторів vx і й2 показано на малюнку 1.98 (А ABC). Оскільки трикутник ABC - прямокутний і
vi
Z. ABC = а, то У =
Звідси
і = «і - v2.
і 2 = U-L = 20 м / с.
2. Вирішимо цю задачу, зв'язавши нерухому систему координат XOY з автомобілем, а рухому X101Y1 - з Землею (рис. 1.99). В цьому випадку щодо системи координат XOY Земля рухається назустріч автомобілю зі швидкістю У3 = -р) 2. Так як 5а = v, vn = -v2, v0T = то закон складання швидкостей запишеться наступним чином:
у = їх + (-У2).
Сума векторів 5j і і53 = -У2 показано на малюнку 1.99.
Ми прийшли до того ж результату, що і при першому способі рішення задачі:
v2 = vx = 20 м / с і v
28 м / с.
завдання 3
Два корабля йдуть пересічними курсами. В деякий момент часу відстань між ними I = 10 км, а швидкості ї> г і v2 утворювали з прямою, що з'єднує кораблі, кути а = 45 ° (рис. 1.100). На якому мінімальному відстані один від одного пройдуть кораблі? Модулі швидкостей кораблів щодо води Uj = 60 км / год, v2 = 80 км / год. Вважайте, що морські течії відсутні.
Рішення. Нехай в початковий момент часу перший корабель знаходився в точці А, а другий - в точці В (рис. 1.101).
Перейдемо в систему координат, пов'язану з першим кораблем. Тоді швидкість води щодо цієї системи vn = -гЗ, є переносний швидкістю, а швидкість другого корабля щодо води є відносна швидкість г3от = v2. Швидкість другого корабля щодо першого при даному виборі системи відліку буде абсолютною швидкістю гза. Згідно із законом додавання швидкостей va = vm + або v = V2 + (-у,) (див. Рис. 1.101). Пряма ВК - траєкторія другого корабля в системі відліку, пов'язаної з першим ( «нерухомим») кораблем. Найкоротшим відстанню між кораблями буде довжина перпендикуляра АС, опущеного з точки А на пряму ВК.
З прямокутного трикутника, утвореного векторами швидкостей, знаходимо модуль швидкості va по теоремі Піфагора:
Подальше рішення задачі є чисто геометричним. Трикутник ADB прямокутний і рівнобедрений.
Знайдемо довжину його катета: AD = DB =. З подоби треуголь-
Л п
ників BMN і BPD знайдемо PD =
де vn = vx.
. Обчислимо довжину отрез-
DBv D
в З подоби трикутників АРС і BMN знаходимо шукане відстань d = АС:
dv2 l (v2
1'4КМ.
А Л / 2 (У2 + vl) Проаналізуємо різні окремі випадки.
Якщо і 2 = то з? = 0; кораблі зустрінуться в точці D. Якщо щодо води рухається тільки один корабель (їх = 0 або
= 0), то d = -j = = AD.
J_
Л
Знайти відстань d можна з aACB: d = Zsin Z СВА, де Z СВА
8 °. Дійсно, з a NBM знаходимо sin Z NBM =
=
= 0,6. Звідси A NBM = 37 °. Так як Z. СБА = 45 ° - 37 ° =
= 8 °, то
d = 10 км • sin 8 °
1,4 км.
завдання 4
Вагон А рухається по заокругленню радіусом Про ^ А = 0,3 км, а вагон В - прямолінійно (рис. 1.102, а). Знайдіть швидкість вагона В щодо вагона А в момент, коли відстань АВ = 0,1 км. Швидкість кожного вагона відносно Землі дорівнює 60 км / год.
Рішення. Так як необхідно знайти швидкість вагона В щодо вагона А, то доцільно (але необов'язково) пов'язувати з вагоном А нерухому систему координат XOY. У цій системі вагон А чи не рухається, але поверхню Землі під ним? 1. повертається за годинниковою стрілкою навколо точки Ох з кутовою швидкістю з (рис. 1.102, б).
Систему координат XjOjYj зв'яжемо із Землею. Ця система координат обертається разом з поверхнею Землі з кутовою швидкістю з довкола точки Ог
Кутову швидкість зі визначимо по руху вагона А відно-СА
сительно Землі: vА = зі • ОДА.
Звідси зі = ^ г-г-
U jA
При обертальному русі рухомої системи координат переносна швидкість в кожен момент часу є тією лінійної швидкістю, яку в даній точці простору має обертається система координат, пов'язана з Землею. Для вагона У переносний швидкістю vn є швидкість точки осі Xj на відстані ОХБ від точки Ог Знайдемо модуль цієї швидкості:
A R
ип = зі • 0, В = зі ^ А + AB) = VA +.
Швидкість вагона У відносно поверхні Землі (щодо рухомої системи координат X ^ OjYj) vB = vor (vB = vA за умовою), але по відношенню до вагону А (нерухомій системі координат XOY) швидкість вагона В є абсолютною. Цю швидкість ми знайдемо за законом додавання швидкостей:
"А =" від + "п-
= V "
ґ АВ І АВ
v ^ + vAo ^ A J
^ = ІлЩА = 20к ^ -
завдання 5
Вгору по річці на весловому човні пливе рибалка. Пропливаючи під мостом, він впустив вудку, але помітив це лише через півгодини. Рибак повернув назад і нагнав вудку на відстані 1,5 км від моста. Чому дорівнює швидкість течії річки, якщо рибалка гріб однаково інтенсивно як при русі вгору (проти течії), так і при русі вниз (за течією)?
Додавання швидкостей виконано на малюнку 102, е. З малюнка видно, що вагон В щодо вагона А рухається в сторону, протилежну швидкості вагона У відносно Землі, зі швидкістю 0А> модуль якої дорівнює
Рішення. 1. Вирішимо задачу, ви-
А М
D
взявши в якості нерухомої систему відліку, пов'язану з берегом. Рухливу систему зв'яжемо з водою. Швидкість цієї системи є переносний, а швидкість човна х1 про х2 х щодо води (рухомий
системи) відносної. Мо- 1-Ю®
дуль цієї швидкості однаковий при русі човна в будь-якому напрямку. Модуль абсолютної швидкості при русі човна проти течії Ug = і0т
Un> ПО ТЄЧЄНІЮ L> a = VQT + VD.
Ось X направимо за течією, початок координат сумісний з мостом (рис. 1.103). Швидкість вудки дорівнює швидкості течії річки vn. Через деякий час t вудка зробить переміщення АВ і матиме координату х 2 = vnt, де х2 = 1,5 км.
Позначимо через t1 = 0,5 ч час руху човна від моста до повороту (точка С). Координату цієї точки позначимо ху Через t2 позначимо час руху човна за течією від точки С до точки D. Тоді
t = t1 + t2. (1.31.1)
Запишемо вираз для координати
= Кxh = - 1> а * 1 = (У "-
Рівняння координати човна х2 при її русі за течією має вигляд
= + К + іот) * 2
Звідси
хП
X-t
t2 = 2. (1.31.2)
2 Vn + VOT
Підставивши цей вираз в (1.31.1) і враховуючи, що t = -. отримаємо
* 2 + (Уот - yn> fl
+
- = * 1 +
від
Звідси
х2
Vn = щ = 1,5 км / год.
2. Рішення завдання буде значно простіше, якщо в якості нерухомої системи вибрати систему відліку, пов'язану з водою. У цій системі модуль швидкості човна при русі по усіх напрямках однаковий, так як рибалка працює веслами весь час однаково. Тому якщо рибалка 0,5 ч віддаляється від вудки, то і наздоганяти її він буде 0,5 ч. Отже, вудка була в русі 1 ч і пропливла 1,5 км щодо берега. Тому швидкість течії води щодо берега дорівнює 1,5 км / год.
Вправа 6
Два автобуси рухаються в одному напрямку. Модулі їх швидкостей відповідно рівні 90 і 60 км / год. Чому дорівнює швидкість першого автобуса щодо другого і другого щодо першого?
По двох паралельних залізничних коліях назустріч один одному рухаються два поїзди зі швидкостями 72 і 108 км / год. Довжина першого поїзда 800 м, а другого 200 м. Протягом якого часу один поїзд проходить повз іншого?
Швидкість течії річки и1 = 1,5 м / с. Який модуль швидкості v катери щодо води, якщо катер рухається перпендикулярно до берега зі швидкістю v2 = 2 м / с щодо нього?
Яку швидкість відносно води повинен повідомити мотор катера, щоб при швидкості течії річки, яка дорівнює 2 м / с, катер рухався перпендикулярно березі зі швидкістю 3,5 м / с щодо берега?
Краплі дощу падають відносно Землі прямовисно зі швидкістю 30 м / с. З якою найменшою швидкістю відносно Землі повинен їхати автомобіль, щоб на задньому оглядовому склі, Накло-ненном під кутом 60 ° до горизонту, не залишалося слідів крапель? Завихрення повітря не враховувати.
Ескалатор метро спускає йде по ньому людини за 1 хв. Якщо людина буде йти вдвічі швидше, то він спуститься за 45 с. Скільки часу буде спускатися людина, що стоїть на ескалаторі?
Гусеничний трактор рухається зі швидкістю 72 км / год відносно Землі. Чому рівні щодо Землі модулі швидкостей: а) верхній частині гусениці; б) нижній частині гусениці; в) частини гусениці, яка в даний момент рухається вертикально по відношенню до трактора?
Людина спускається по ескалатору. У перший раз він нарахував 50 сходинок. Вдруге, рухаючись зі швидкістю вдвічі більшою, він нарахував 75 сходинок. В який бік рухається ескалатор?
Скільки сходинок нарахує людина, спускаючись по нерухомому ескалатору?
Теплохід від Нижнього Новгорода до Астрахані пливе 5 діб, а назад 7 діб. Скільки часу від Нижнього Новгорода до Астрахані пливе пліт?
Швидкість течії річки зростає пропорційно відстані від берега, досягаючи свого максимального значення v0 = 5 м / с на середині річки. Біля берегів швидкість течії дорівнює нулю. Човен рухається по річці так, що її швидкість відносно води постійна, дорівнює по модулю і = 10 м / с і спрямована перпендикулярно течією. Знайдіть відстань, на яке буде знесена човен при переправі, якщо ширина річки d = 100 м. Визначте траєкторію човна.
Швидкість течії річки зростає з відстанню від берега, досягаючи свого максимального значення і0 = 5 м / с на середині річки. Біля берегів швидкість течії дорівнює нулю. Від берега починає плисти спортсмен зі швидкістю v = 4 м / с щодо води, спрямованої перпендикулярно течією. Що стояла на середині річки на якорі човен починає рухатися паралельно березі з постійною від- носительно води швидкістю і = 10 м / с одночасно з плавцем. На якій відстані від місця зустрічі з плавцем перебувала спочатку човен, якщо ширина річки h = 100 м?
Платформа рухається зі швидкістю = 40 м / с. У момент, коли вона перетинала пряму лінію ОМ, перпендикулярну напрямку руху (рис. 1.104), з платформи був зроблений постріл по нерухомій цілі М. Знаючи, що швидкість кулі відносно платформи t> 2 = 800 м / с, знайдіть напрямок, в якому був зроблений постріл.
Кругла горизонтальна платформа обертається навколо своєї осі з кутовою швидкістю 2 рад / с (рис. 1.105). Кубик М рухається зі швидкістю 9 м / с в напрямку МО. В деякий момент часу рас М
v
Про
М стояння МО = 6 м. Знайдіть швидкість кубика щодо наблю-дателя, що стоїть в центрі платформи в цей момент часу.
14.Шоссейние дороги перетинаються під прямим кутом. По дорогах рухаються автомобілі зі швидкостями v1 і v2 в напрямку до перехрестя (l> j> у2). В деякий момент часу відстань обох автомобілів до перехрестя було однаковим і рівним I. На якому найменшому відстані d автомобілі пройшли відносно один одного?
15.Человек на човні повинен потрапити з точки А в точку В, що знаходиться на протилежному березі річки (рис. 1.106). Відстань ВС = а. Ширина річки АС -'. З якою найменшою швидкістю і від-носительно води повинна плисти човен, щоб потрапити в точку В? Швидкість течії річки постійна і дорівнює v.
З У
мямжжяярж
Шшшшшшшшшшш, А
Мал. 1.106
Іб.Ліфт рухається з прискоренням а, спрямованим вгору. Людина, що знаходиться в ліфті, упускає книгу. Чому дорівнює прискорення книги щодо ліфта? Вирішіть задачу також для випадку, коли прискорення ліфта направлено вниз.