Наприклад, - позитивний ряд. Він називається гармонійним.
Так як,, то зростає. Звідси випливає вся принадність позитивних рядів, бо питання збіжності вирішується теоремою Вейєрштрасса про існування межі монотонної послідовності: «Позитивний ряд сходиться обмежені зверху».
[Ред] Принцип порівняння рядів
Застосуванням цього критерію є так званий принцип порівняння рядів.
Нехай і - позитивні ряди. тоді:- , сходиться сходиться.
- , , .
Так як ряд сходиться, то, по теоремі Вейерштрасса, сума обмежена якимось числом. А тоді,
.
Підставами в визначення меж:
Домножим на більшу нуля:
.
Ряди мажоріруют один одного. Значить, за пунктом 1, вони равносходятся.
[Ред] Критерій Коші
Важливий випадок виникає, якщо в позитивному ряді складові зменшуються:. У цій ситуації можна висловити більш тонкий критерій збіжності ряду (критерій Коші):
Нехай дана позитивна регресний ряд. тоді
В силу убування послідовності, всередині дужки найбільшим є перший доданок, а найменшим - останнім.
Якщо суму справа помножити на, отримаємо досліджувану суму. Значить, з збіжності слід збіжність.
Тепер оцінимо зверху. Якщо залишати перші доданки, і ще більше збільшити суму, взявши попереднє до них, отримаємо:
З цього отримуємо зворотне наслідок
Застосуємо цей критерій для дослідження ряду,.
При отримуємо гармонійний ряд.
.
За формулою суми геометріцеской прогресії,
Зокрема, гармонійний ряд розходиться.
[Ред] Порівняння ряду з геометричною прогресією (ознака Даламбера і радикальний ознака Коші)
На основі порівняння рядів можна отримувати принципи їх збіжності, тобто теореми, в яких формується умова на поведінку доданків ряду, що гарантують його збіжність.
Нехай - позитивний ряд.- Якщо, то при ряд сходиться, при ряд розходиться, при можливі обидва варіанти. (Ознака Даламбера)
- Нехай. Тоді виконуються такі ж співвідношення, що і в пункті 1. (Радикальна ознака Коші)
Будемо керуватися тим, що поведінка кінцевого числа доданків не впливає на збіжність ряду.
За визначенням меж
Випишемо ці нерівності з і перемножимо їх:
.
Значить, що цікавить нас ряд мажоріруется нескінченної спадної прогресією. Значить, за правилом порівняння, він сходиться
Послідовність зростає. Ряд розходиться.
2. Повністю копіює пункт 1.
.
Ряд мажоріруется нескінченної спадної ПРОГРЕСCИВ.
[Ред] Інтегральний ознака Коші
Нехай при визначена функція, зменшується,. Тоді.
Нехай. Тоді, в силу спадання функції,. Так як функція спадає, певний інтеграл існує. Проинтегрируем і скористаємося тим, що:
.
Підсумуємо починаючи с.
Збіжність невласного інтеграла з позитивною функцією визначається теоремою Вейєрштрасса про монотонності функції, все зводиться до обмеженості, але по вони зростають все зводиться до обмеженості. Але встановлене нерівність показує, що їх обмеженість рівносильна обмеженості часткових сум. Значить, ряд і інтеграл равносходятся.
Значить, за інтегральним ознакою Коші, навіть додавання логарифма в знаменник не допомогло гармонійному ряду стати збіжним. І ніщо йому не допоможе!