Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
Достовірне, неможливе, випадкове події, спільні та несумісні події: 3 визначення ймовірностей.
* Достовірна подія - це подія, яка обов'язково відбувається при кожному проведенні даного експерименту. Цій події відповідає все безліч фіналів даного експерименту;
* Неможливе подія - це подія, яка ніколи не може статися при проведенні даного експерименту. Цій події відповідає порожня множина результатів даного експерименту;
* Подія називається випадковою якщо при одних і тих же умовах воно може як статися, так і не відбутися. Випадковим вважається подія, пов'язана з випадковим експериментом;
* Дві події А і В називаються спільним. якщо вони можуть відбутися одночасно, при одному кінець експерименту, і несумісними. якщо вони не можуть відбутися одночасно ні при одному кінець експерименту.
* 3 визначення ймовірностей
1.Классіческое визначення: Ймовірністю P (A) події в даному досвіді називається відношення числа m фіналів досвіду, що сприяють події A, до загальної кількості n можливих результатів досвіду, що утворюють повну групу рівно можливих попарно несумісних подій: Р (А) = m / n
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1
2.Вероятность достовірної події дорівнює 1.
3. Імовірність неможливого події дорівнює нулю.
2. Частість події А називають статистичною ймовірністю. яка позначається Р * (А) = mA / n. де mA - число експериментів, в яких з'явилося подія А;
n - загальне число експериментів.
3. Аксіоматичний підхід до визначення ймовірності: третім підходом до визначення ймовірності є аксіоматичний підхід, при якому ймовірності задаються перерахуванням їх властивостей. У цьому випадку ймовірність задається як числова функція Р (А) на множині всіх подій, які визначаються даними експериментом, яка задовольняє наступним аксіомам:
2. P (A) = 1, якщо А - достовірна подія.
3. P (A∩ B) = P (A) + P (B), якщо А і В несумісні.
4. Геометричне визначення ймовірності. Нехай простір елементарних подій 1 C являє собою деяку область площині. Тоді як подій можуть розглядатися області А. містяться в 1 C. Ймовірність влучення в область А точки, навмання обраної з області 1 C. називається геометричній ймовірністю події А і знаходиться за формулою
P (A) = S (A) / S (C1) де S (A) і S (C1) - площі областей А і С1
Якщо С1 являє собою відрізок P (A) = l (A) / L (C1) де l (A) і L (C1) - довжини відрізків
Якщо С1 являє собою тривимірну область P (A) = V (A) / V (C1) де V (A), V (C1) - обсяги
Сума, твір подій. Формули комбінаторики: перестановки, розміщення, поєднання.
* Сумою подій А і В називається подія С = А + В, яке відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається хоча б одна з подій А і В (тобто А, або В, або обидва разом).
* Твором подій А і В називається подія С = А * В яке відбувається тоді і тільки тоді, коли відбуваються обидві події А і В.
* Різницею подій А і В називається подія С = А-В, яке відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія А, але не проісходітсобитіе В.
* Розміщенням з n елементів по k елементів (0 £ k £ n) називається будь-який упорядкований підмножина даного безлічі, що містить k елементів.
А n = n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1) = n! / (N-k)! Де n! = 1 × 2 × 3 ×. × n;
* Перестановкою з n елементів називається розміщення з n елементів по n елементів.
* Поєднанням з n елементів по k (0≤ k≤ n) називається будь-яка підмножина даного безлічі, яке містить k елементів. Будь-які два поєднання відрізняються один від одного хоча б одним елементом.
Теореми додавання ймовірностей для спільних і несумісних подій.
Теорема. Імовірність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
P (Σ Ai) = Σ P (Ai)
Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці. Події називаються спільними, якщо вони можуть з'явитися одночасно в одному досвід.
Теорема. Імовірність складання двох спільних подій дорівнює суммевероятностей цих подій без ймовірності їх спільного появи: P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB)
Для трьох подій А, В і С маємо: P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (AB) - P (AC) - P (BC) + P ( ABC)
Зауваження. У разі трьох і більшого числа подій для знаходження ймовірності суми
S цих подій простіше знайти ймовірність протилежної події S. а потім скористатися рівністю P (S) = 1 P (S).
Повна група подій, протилежні події. Умовна ймовірність. Теорема множення ймовірностей.
Нехай А і В - деякі події. при чому P (B)> 0
Умовною ймовірністю події А за умови У називається ймовірність події А, знайдена за умови, що подія В відбулася.
Аналогічно визначається умовна ймовірність події В за умови А
P (B) = (P (AB)) / P (A) (P (A) ≠ 0) або P (B / A) = (P (AB)) / P (A)
* Теорема (правило множення ймовірностей)
Імовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого за умови, що перша подія відбулася:
P (AB) = P (A) * P (B) = × або P (AB) = P (B) * P (A)
Ця теорема узагальнюється на будь-яке кінцеве число подій:
P (ABC ... LM) = P (A) * P (B) * P (C) ... P (M)
Подія А тягне подія В, якщо з того, що відбувається подія А слід настання події В А ∩ В
Протилежним події А називається А. яке відбувається тоді і тільки тоді, коли відбувається подія А.
* Повна група подій
Повної групою подій в теорії ймовірностей називається система випадкових подій така, що в результаті проведеного випадкового експерименту неодмінно станеться одне з них. Сума ймовірностей всіх подій в групі завжди дорівнює 1.
5. ймовірність появи хоча б однієї події.
Теорема.Вероятность появи хоча б однієї з подій А1. А2. Аn. незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій
Окремий випадок. Якщо події А1. А2. Аn мають однакову ймовірність, рівну р, то ймовірність появи хоча б одного з цих подій
6.Формула повної ймовірності ..
Нехай подія A може відбутися тільки разом з одним з попарно несумісних подій H1. H2. Hn. утворюють повну групу. Тоді, якщо відбулася подія A. то це значить, що відбулася одна з попарно несумісних подій H1A. H2A. HnA. отже,
Застосовуючи аксіому додавання ймовірностей, маємо
.Ця формула називається формулою повної ймовірності. Події H1. H2. Hn часто називають «гіпотезами».
- апріорна ймовірність гіпотези A (сенс такої термінології див. Нижче);
- ймовірність гіпотези A при настанні події B (апостериорная ймовірність);
- ймовірність настання події B при істинності гіпотези A;
- повна ймовірність настання події B.
Проводяться дослідів, в кожному з яких може відбутися певна подія ( «успіх») з ймовірністю (або не відбутися - «невдача» -). Завдання - знайти ймовірність отримання успіхів в досвіді.
Кількість успіхів - величина випадкова, яка має розподіл Бернуллі.
9. Локальна теорема Лапласа: Якщо ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює одній і тій же постійної то ймовірність того, що у всіх цих випробуваннях подія з'явиться рівно раз, наближено обчислюється формулою:
Інтегральна: Нехай ймовірність появи події А в кожному з n (n → ∞) незалежних випробувань дорівнює одній і тій же постійної р (0<р <1), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие А появится не менее k1 и не более k2 раз, приближенно вычисляется формулой :
10. Випадкові величини.
Випадкові величини - величини, які в результаті випробування отримує 1 і тільки 1 значення (невідоме).
Дискретної називають випадкову величину, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями.
Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх можливостями.
Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати таблично, у вигляді формули (аналітично) і графічно
11. біномінальної розподіл. Розподіл Пуассона.
Біномінальної розподіл: Виникає в тих випадках, коли ставиться питання: скільки разів відбувається деяка подія в серії з певного числа незалежних спостережень (дослідів), що виконуються в однакових умовах.
Розподіл Пуассона: Випадкове число подій, що відбулися за час від 0 до Т, розподілено за законом Пуассона з параметром l = аТ, де а> 0 - параметр завдання, що відображає середню частоту подій. Імовірність k покупок протягом великого інтервалу часу, (наприклад, - дня) складе
12. Потік подій і його властивості.
Під потоком подій в теорії ймовірностей розуміється послідовність подій, що відбуваються одне за іншим в якісь моменти часу.
· Властивість стаціонарності: ймовірність появи k подій на будь-якому проміжку часу залежить тільки від числа k і від тривалості t проміжку і не залежить від початку його відліку.
· Властивість відсутності післядії: ймовірність появи k на будь-якому проміжку часу не залежить від того, з'являлися або не з'являвся події в моменти часу, що передують початку аналізованого проміжку.
· Властивість ординарности: ймовірністю настання за елементарний проміжок часу більше одного події можна знехтувати в порівнянні з імовірністю настання за цей проміжок не більше одного події
13. Математичне сподівання. Математичне сподівання - середнє значення випадкової величини, розподіл ймовірностей випадкової величини, розглядається в теорії ймовірностей. Дисперсія випадкової величини - міра розкиду даної випадкової величини, тобто її відхилення від математичного очікування.
14. Теорема Бернуллі. Бернуллі: Якщо в кожному з п незалежних дослідів вероятностьр появи події А постійна, то при досить великій кількості випробувань вероят-ність того, що модуль відхилення відносної частоти появи А в п дослідах від р буде як завгодно малим, як завгодно близька до 1:
Щільність розподілу ймовірності. Щільністю розподілу (або щільністю ймовірності) неперервної випадкової величини X в точці x називається похідна її функції розподілу в цій точці і позначається f (x). Графік щільності розподілу називається кривою розподілу.
15. Безперервне рівномірне распределеніе.Непреривное рівномірний розподіл - в теорії ймовірностей розподіл, що характеризується тим, що ймовірність будь-якого інтервалу залежить тільки від його довжини. Безперервна випадкова величина Х рівномірно розподілена в інтервалі [а; в], якщо її щільність ймовірності в цьому інтервалі постійна, тобто якщо всі значення в цьому інтервалі різновірогідні:
16. Нормальний розподіл.
Нормальний розподіл, також зване гаусовим розподілом, гауссіаной іліраспределеніем Гаусса - розподіл ймовірностей, яке задається функцією щільності розподілу:
17. Система випадкових величин.
Існують також випадкові величини, які визначаються двома, трьома і т.д. числами. Такі випадкові величини називаються двовимірними, тривимірними і т.д. Залежно від типу, що входять в систему випадкових величин, системи можуть бути дискретними, безперервними або змішаними, якщо в систему входять різні типи випадкових величин. Визначення. Законом розподілу системи випадкових величин називається співвідношення, яке встановлює зв'язок між областями можливих значень системи випадкових величин та ймовірності появи системи в цих областях. Визначення. Функцією розподілу системи двох випадкових величин називається функція двох аргументів F (x, y). рівна ймовірності спільного виконання двох нерівностей X 18. Генеральна сукупність, генеральна вибірка (від лат. Generis - загальний, родовий) (в англ. Термінології - population) - сукупність всіх об'єктів (одиниць), щодо яких учений має намір робити висновки при вивченні конкретної проблеми. Генеральна сукупність складається з усіх об'єктів, які підлягають вивченню. Склад генеральної сукупності залежить від цілей дослідження. Іноді генеральна сукупність - це все населення певного регіону (наприклад, коли вивчається ставлення потенційних виборців до кандидата), найчастіше задається кілька критеріїв, що визначають об'єкт дослідження. Наприклад, жінки 10-89 років, які використовують крем для рук певних марок не рідше разу на тиждень, і мають дохід не нижче $ 150 на одного члена сім'ї. 19. Зміщена і несмещенная оцінки. Незміщена Оцінка в математичній статистиці - це точкова оцінка, математичне очікування якої дорівнює оцінюваному параметру. Зміщена оцінка - статистична оцінка, математич. очікування до-рій не збігається з оцінюваної величиною. 20. Довірчий інтервал. Довірчий інтервал - термін, який використовується в математичній статистиці при інтервального (на відміну від точкової) оцінці статистичних параметрів, що краще при невеликому обсязі вибірки. Довірчим називають інтервал, який покриває невідомий параметр із заданою надійністю. 20.Точность оцінки, довірча ймовірність, довірчий інтервал. Довірчий інтер-вал для оцінки мат очікування нормального рас-пределеніе при відомому мат очікуванні (ви-вод). Точкові оцінки невідомого параметра # Тисячу двісті п'ятьдесят шість; гарні в якості первісних результа-тов обробки спостережень, їх недолік в тому, що невідомо з якою метою вони дають оценочен-ний параметр. Для вибору невеликого обсягу питання про точність істотний, тому що між # Тисячу двісті п'ятьдесят шість; і # Тисячу двісті п'ятьдесят шість; * м. Б. велика розбіжність, крім того, при вирішенні завдань часто потрібно визначити і надійність цих оцінок, тоді і виникає заду-ча про наближення параметра # Тисячу двісті п'ятьдесят шість; Не 1 числом, а цілим інтервалом (# 1256; 1 *; # 1256; *